Chapitre 2
Dualit´
e
2.1

Introduction

Avant de donner la definition formelle d’un probl`me dual, nous allons expliquer come ment il s’explique en terme de probl`me de production. e Une entreprise I fabrique n produit et le b´n´fice par unit´ du produit i est ci . Pour e e e fabriquer les produits l’entreprise utilise m mati`res premi`res, et la quantit´ totale de e e e mati`re j est bj . Par unit´ de produit i, il faut ai,j quantit´ de la mati`re j. Pour I, e e e e maximiser son b´n´fice revient ` r´soudre : e e a e
Max z = cx
Ax ≤ b x≥0 




avec A(m, n), c(1, n) = (c1 , . . . , cn ), x(n, 1) = 

x1
.
. xn 



 , b(m, 1)







=

b1
.
. bm 





qu’on appelle le

probl`me primal. e Une entreprise II propose de racheter les ressources de I pour sa propre production.
Quand est-ce que la transaction peut se faire ? Quand I ne perd pas ` vendre ses mati`res a e premi`res plutot que de fabriquer ses produits. De plus II veut payer le prix le plus bas e possible. On pose yj le prix propos´ par II ` I par unit´ de produit j. e a e Le coˆ t pour II est u ω = ΣJ=M yj bj j=1 Les contraintes repr´sentent que pour I le prix de vente (par unit´ de produit) ` II est e e a plus elev´ ou ´gal au b´n´fice pour chaque produit. e e e e pour une unit´ de produit i : e j=m
Σj=1 yj aj,i ≥ ci et ´videmment yj ≥ 0 pour tout j. e 1

´
CHAPITRE 2. DUALITE

2
Cela s’´crit : e Min ω = yb yA ≥ c y≥0 qu’on appelle le probl`me dual. Le dual mod´lise ainsi le fait qu’il est plus int´ressant pour e e e I de vendre ` II que de fabriquer et aussi que II cherche ` proposer le prix le plus bas a a possible. 2.2

Definition

Definition 1 P un probl`me de PL (appel´ primal) sous la forme canonique : e e
Max z = cx
Ax ≤ b x≥0 avec A(m, n), c(1, n), x(n, 1), b(m, 1) alors le probl`me dual est : e Min ω = yb yA ≥ c y≥0 avec y(m, 1)
Proposition 1 Le