Limites et continuité

I/ Limites en ∞ d’une fonction :
Dans tout le chapitre, l désigne un réel.
1)2)3) Les asymptotes :

* Quand limx→ +∞fx=l (respectivement en -∞), on dit que la droite d’équation y = l est une asymptote horizontale à Cf en +∞ (respt -∞).

* Quand limx→ +∞fx- ax+b=0 (respt -∞), on dit que la droite d’équation y = ax + b est une asymptote oblique à Cf en +∞ (respt -∞).

II/ Limites en un réel a - Continuité d’une fonction :
Soit a un nombre réel et f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a, sauf éventuellement en a. 1) Limite finie en a – Continuité : a f(a)

Cf ne présente pas de rupture Cf présente une rupture au point d’abscisse a au point d’abscisse a. limx→a x>afx≠ limx→a x <af(x) limx→afx=f(a) f est discontinue en a f est continue en a

Déf : soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a, * f est continue en a quand limx→afx=f(a). * f est continue dans un intervalle I quand f est continue en tout point de I.

Propriétés : * les fonctions polynômes, cos et sin sont continues sur |R. * la fonction racine carré est continue sur [0 ; +∞[. * Les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle sur lesquelles elles sont définies.

2) Limites infinies en a :

Si f(x) prend des valeurs aussi grandes que l’on veut dès que x est suffisamment proche de a, on dit que la limite de f en a est infinie.
On note limx→afx= +∞ x = a

o

Rq : * on définit de même limx→afx= -∞ * on peut être amené à étudier la limite de f à gauche et à droite * limx→a x<afx= +∞ (ou -∞) * limx→a x>afx= +∞ (ou -∞)

Déf : la représentation graphique de la fonction admet une asymptote verticale d’équation x = a quand : * limx→afx= +∞ ou