Une suite qui converge vers e…
Dans cet exercice, nous allons démontrer que la suite définie, pour n > 0, par æ 1ö un = ç1 + ÷ converge effectivement vers exp(1), c'est à dire le nombre e. è nø 1) Encadrement de ex a) j est la fonction définie sur  par j(x) = ex – (1 + x). Étudier ses variations. b) En déduire que pour tout réel x, 1 + x  ex. 1 c) A partir de l'inégalité (1), démontrer que pour tout réel x < 1, e x £ . 1- x 2) Un encadrement du nombre e n désigne un entier naturel non nul. æ 1ö a) Déduire de l'inégalité (1) que ç 1 + ÷ £ e . è nø æ 1ö b) Déduire de l'inégalité (2) que e £ ç 1 + ÷ è nø 3) Une suite qui converge vers e æ 1ö (un) est la suite définie pour tout entier n > 0 par un = ç1 + ÷ . è nø 3 a) Démontrer que pour tout entier n  1, 0  e – un  . n b) En déduire que la suite (un) converge vers e. Montrer qu’il en est de même de la suite æ 1ö (vn) définie par vn = ç1 + ÷ . è nø c) Donner un encadrement de e en calculant un et vn pour n = 10, 100, 1000, ... n +1 n n +1 n n

(1). (2).

b) La fonction j présente un minimum égal à 0. Par conséquent, pour tout x réel, j ( x ) ³ 0 soit 1 + x  ex. c) L’inégalité (1) étant vraie pour tout x, on peut en déduire en remplaçant x par –x que : 1 – x  e–x. Lorsque x < 1, 1 – x est strictement positif, et l’inégalité précédent entre nombres 1 . strictement positifs équivaut à : e x £ 1- x 1 1 2) a) On peut appliquer l’inégalité (1) à x = : 1 + £ e1/ n qui équivaut en élevant à la n n æ 1ö puissance n ces nombres positifs, à ç 1 + ÷ £ e . è nø 1 b) Appliquons l’inégalité à x = , qui est bien pour n > 0 inférieur strictement à 1… n+1 1 1 n +1 1 1 On arrive à : e n +1 £ soit e n +1 £ = 1+ qui équivaut, en élevant à la 1 n n 1n +1 n +1 æ 1ö puissance n + 1 ces nombres positifs, à e £ ç 1 + ÷ . è nø æ 1ö æ 1ö 3) a) On a donc établi que pour entier naturel n, ç 1 + ÷ £ e £ ç1 + ÷ è nø è nø æ 1ö ces inégalités un = ç1 + ÷ , ceci équivaut à : è nø 1æ 1ö e 3 æ 1ö æ 1ö 0 £ e - un £ ç1 + ÷ - ç1 + ÷ = ç1 + ÷ £ £