INTRODUCTION
Si cette question se pose, c’est parce que les mathématiques sont considérées comme la connaissance la plus certaine, comme méritant le plus pleinement le titre de " science " et de " vérité ".
Ce qu’on ne met nullement en question, c’est que les mathématiques soient une connaissance.
Or, qu’est-ce qu’est-ce qui caractérise une connaissance? Une connaissance se caractérise surtout par le fait d’avoir un objet, et elle doit nous apporter des informations sur cet objet (ses propriétés, etc.).
Les sciences naturelles (science physique, biologie, chimie, histoire, etc.) sont bien des connaissances (à tel point que, d’un point de vue général, science et connaissance sont des termes synonymes) : d’une façon générale, ce qui caractérise les sciences est qu’elles ont un objet, même si, en grande partie, ces objets sont constitués par des théories (par exemple, en physique, les atomes, électrons, champs de gravitation, en biologie, les cellules, les molécules, etc.). Elles nous parlent de quelque chose, et nous font connaître les caractéristiques de ces objets.
Nous estimons communément que les mathématiques sont une connaissance, et une science. Quels sont alors les objets des mathématiques ?
On pourrait répondre : des fonctions, des isomorphismes, des polynômes, des nombres complexes, etc.
Il semble toutefois que ces " objets " ne soient pas des objets au même sens que ceux des sciences, i.e., qu’ils ne rendent possible aucune expérience et ne peuvent faire l’objet d’aucune expérience. Ainsi, on ne fait pas l’expérience d’un nombre mais d’un nombre donné de pommes, par exemple. Les mathématiques n’auraient donc pas d’objets réels. Ne faut-il pas dire alors que le savoir le plus respecté, paradoxalement, ne porte sur rien ?
Mais peut-être peut-on dire, pour sauver les mathématiques, que ce qui fait qu’elles sont des vérités sûres et certaines, c’est justement qu’elles n’ont pas d’objet ? Et qu’elles sont, dès lors, des vérités d’un type particulier?