Corrigé du test (1/2 h) Ch 9 : Limites Comportement asymptotique des fonctions

Exercice 1 (1,5 point)
Le graphique suivant montre la courbe d’une fonction f définie sur
] [pic] ; – 4 [ [pic]] – 4 ;1 [[pic]]1 ;+[pic][ qui admet deux asymptotes verticales d’équations x = – 4 et x = 1 .
Par lecture graphique donner les limites de f(x) aux bornes de son ensemble de définition.
[pic]

Exercice 2 (2 points)
Déterminer les limites des fonctions suivantes quand x tend vers la valeur donnée : 1) f : x [pic] quand x tend vers 5 par valeurs inférieures à 5.
Quand x tend vers 5 avec x < 5 on a lim (x – 5) = 0 – .
Donc d’après le théorème des limites sur les quotients lim f(x) = + [pic] (0,75) 2) g : x [pic] quand x tend vers 3.
On ne peut pas déterminer la limite directement car le numérateur et le dénominateur tendent vers 0 quand x tend vers 3 ( forme indéterminée du type « [pic] » )
Le trinôme x2 – 5x + 6 admet 3 comme racine , il se factorise : ( x – 3 )( x – 2 )
Quand x tend vers 3, lim g(x) = lim[pic]= lim[pic]= 0,5 (1,25 pt)
Exercice 3 (3 points)
Déterminer les limites des fonctions suivantes quand x tend vers + [pic] : 1) f : x[pic]
Quand x tend vers +[pic], d’après le théorème des limites sur les produits , – 2x tend vers –[pic].
Quand x tend vers +[pic], d’après le théorème des limites sur les sommes, (x – 7 ) tend vers +[pic] et 1 – 2x tend vers –[pic] .
On en déduit, d’après le théorème des limites sur les quotients, que lim f(x) = 0 (1 pt) 2) g : x [pic] Quand x tend vers +[pic], 3x – 7 et x + 2 ont la même limite que leur terme de plus haut degré .
Donc lim g(x) = lim[pic]= lim 3 = 3 (1 pt) 3) h : x [pic].
Quand x tend vers +[pic], [pic] a la même limite que son terme de plus haut degré .
Donc lim h(x) = lim ( – x2 ) = –[pic] car lim x2 = +[pic] (1 pt)

Exercice 4 (3,5 points)
Soit f la fonction définie sur ] [pic] ; 1[ [pic]] 1 ; + [pic][ par f(x) = 2