Applications du produit scalaire
I. Vecteur normal à une droite
1. Définition :
D

n

u

Dire que n ( n ≠ 0 ) est un vecteur normal à D de vecteur directeur u signifie que n est orthogonal à u .

2. Caractérisation d’une droite par un point A et un vecteur normal n :

n
M
A

M appartient à la droite passant par A et de vecteur normal n si et seulement si AM et n sont orthogonaux, c’est-à-dire si et seulement si AM .n = 0 .

3. Vecteur normal d’une droite d’équation ax + by + c = 0 :
Pour toute droite d’équation cartésienne ax + by + c = 0 (avec a ≠ 0 et b ≠ 0 ), un vecteur normal est : n(a; b)

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Démonstration :
Soit N 0 ( x0 ; y0 ) un point de la droite D d’équation ax + by + c = 0 .
On a donc ax0 + by0 + c = 0
De même, pour tout point M ( x; y ) de D, on a ax + by + c = 0
Donc ( ax + by + c ) − ( ax0 + by0 + c ) = 0 donc a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0
N 0 et M appartiennent à D donc N 0 M est un vecteur directeur de D.
Notons n(a; b) . L’expression a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0 signifie que n.N 0 M = 0 donc n(a; b) est orthogonal à N 0 M , et est par conséquent un vecteur normal à D.

II. Cercle
1. Cercle défini par son centre et son rayon :
Soit C le cercle de centre Ω et de rayon R.
M ∈ C ⇔ ΩM = R
De même M ∈ C ⇔ ΩM = R ⇔ ΩM 2 = R 2 car ΩM ≥ 0 et R ≥ 0 .

Exemple :
Soient Ω(1; −2) et R = 2
Trouver l’équation du cercle C de centre Ω et de rayon R.
Soit M ( x; y )
M ∈ C ⇔ ΩM 2 = R 2
M ∈C ⇔

(

( x − 1) 2 + ( y + 2) 2

)

2

=4

M ∈ C ⇔ ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = 4
M ∈ C ⇔ x2 − 2x + 1 + y 2 + 4 y + 4 = 4
M ∈ C ⇔ x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 1 = 0 est l’équation cartésienne de C.

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2. Cercle défini par un diamètre :

M

A

B
C

M ∈ C ⇔ AM .BM = 0

Exemple :
Soient A(−1;3) et B (2; 2)

Trouver l’équation du cercle C de diamètre [ AB