Sujet 1
– – – –

S´rie S sp´cialit´ math´matiques e e e e

La calculatrice est autoris´e. e Pendant la pr´paration, il est souhaitable d’aborder toutes les questions du sujet. e La r´daction ne sera pas ´valu´e. e e e La pertinence des r´ponses et l’´valuation des connaissances lors du questionnement oral seront e e prises en compte.

Question 1 1. Faire apparaˆ ` l’´cran de la calculatrice les courbes repr´sentatives des fonctions x → ex et ıtre a e e x → x. 2. Que peut-on conjecturer sur la position de ces deux courbes ? 3. La fonction φ est d´finie sur R par φ(x) = ex − x. Apr`s avoir ´tudi´ les variations de φ, justifier e e e e la conjecture ´mise pr´c´demment puis en d´duire une in´galit´ pour tout r´el x. e e e e e e e 4. A-t-on pour tout x r´el, ex e 3x ?

Question 2 n d´signe un entier naturel. e On peut d´montrer la propri´t´ (P) : n3 − n est divisible par 3, en utilisant : e ee – Un raisonnement par r´currence. e – Un raisonnement par disjonction des cas et ´ventuellement les congruences. e – Un th´or`me du cours. e e 1. Choisir une des m´thodes et justifier la propri´t´ (P). e ee 2. Donner la d´marche utilis´e dans les autres raisonnements sans d´tailler les calculs. e e e

Inspection p´dagogique r´gionale de Lille—Mai 2005 e e

1/2

Fiche Professeur 1 Contenus ´valu´s : Fonction exponentielle, in´galit´s, nombres complexes et g´om´trie. e e e e e e Sp´cialit´ : arithm´tique e e e Question 1 Les questions peuvent porter sur L’utilisation des fenˆtres graphiques e La notion de conjecture La m´thode permettant de justifier des positions e relatives de courbes Les diff´rentes m´thodes permettant de justifier e e un signe Diff´rents liens : graphique, fonctionnel, alg´e e brique . . . Comp´tences ´valu´es e e e Utiliser la calculatrice, observer Conjecturer Mobiliser les connaissances, changer de registre Prendre des initiatives Tirer profit des indications donn´es e R´agir efficacement et ˆtre coh´rent e e e Question 2 Les questions peuvent porter