CONCOURS COMMUN 2008
DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve Spécifique de Mathématiques
(filière MPSI)

Premier problème Etude d’une inégalité
1. Soit a ∈ C. Posons a = x + iy avec (x, y) ∈ R2 . |a| = Re(a) ⇔ x2 + y2 = x ⇔ x ≥ 0 et x2 + y2 = x2 ⇔ x ≥ 0 et y = 0 ⇔ a ∈ R+ . ∀a ∈ C, |a| = Re(a) ⇔ a ∈ R+ . 2. Soit (z, w) ∈ C2 . |z + w|2 = (z + w)(z + w) = zz + zw + zw + ww = |z|2 + |w|2 + (zw + zw) = |z|2 + |w|2 + 2Re(zw), et donc (|z| + |w|)2 − |z + w|2 = (|z|2 + |w|2 + 2|z||w|) − (|z|2 + |w|2 + 2Re(zw)) = 2|z||w| − 2Re(zw) = 2(|z||w| − Re(zw)). ∀(z, w) ∈ C2 , (|z| + |w|)2 − |z + w|2 = 2(|z||w| − Re(zw)). 3. Soit (z, w) ∈ C2 . On sait que pour tout complexe Z, on a |Z| ≥ ReZ et donc (|z| + |w|)2 − |z + w|2 = 2(|z||w| − Re(zw)) ≥ 0. On en déduit (|z| + |w|)2 ≥ |z + w|2 puis que |z + w| ≤ |z| + |w|. De plus, |z + w| = |z| + |w| ⇔ (|z| + |w|)2 − |z + w|2 = 0 ⇔ |z||w| = Re(zw) ⇔ zw ∈ R+ . z |w|2 ∈ R+ ⇔ ∈ R+ ⇔ ∃λ ∈ R+ / z = λw. w w

Si w = 0, on a l’égalité et si w = 0, alors |w|2 ∈ R∗ et donc + |z + w| = |z| + |w| ⇔ zw ∈ R+ ⇔ z

En résumé, on a l’égalité si et seulement si w = 0 ou w = 0 et ∃λ ∈ R+ / z = λw ou encore si et seulement si z et w sont les affixes de deux points situés sur une même droite issue de l’origine.

La notion de (p : q) point
4. Soit z ∈ C. z−a p = ⇔ q(z − a) = p(b − z) et z − b = 0 b−z q ⇔ q(z − a) = p(b − z) (car b n’est pas solution de l’équation q(z − a) = p(z − b) puisque a = b) qa + pb ⇔z= . p+q Ceci montre l’existence et l’unicité de z. De plus, z est l’affixe du barycentre du système (A(q), B(p)). Le (p : q) point de A à B est bar(A(q), B(p)). http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés.

5. Soit α ∈]0, +∞[. Le barycentre du système bar(A(αq), B(αp)) est le barycentre du système bar(A(q), B(p)) ou encore le (αp : /alphaq) point de A à B est le (p : q) point de A à B. 6. Le (1 : 1) point de A à B est l’isobarycentre des points A et B ou encore le milieu du segment [AB]. − → 7. On a