Méthodes quantitatives, © André Lemelin, 2004
Outils mathématiques de base

1-A.1

ANNEXE 1-A : QUELQUES OUTILS MATHÉMATIQUES DE BASE
Plan
1. L'opérateur sommation

2

1.1 Définition

2

1.2 Règles de base pour les sommes finies

4

1.3 Sommations doubles

5

Note : L'opérateur produit

7

Exercices sur l'opérateur sommation

7

2. Les logarithmes et la fonction exponentielle

10

2.1 Les exposants

10

2.2 Les logarithmes

11

2.3 La fonction exponentielle

14

2.4 Pourquoi les logarithmes népériens ?

17

Solutions des exercices sur l'opérateur sommation

18

Méthodes quantitatives, © André Lemelin, 2004
Outils mathématiques de base

1-A.2

1. L'opérateur sommation 1
1.1 DÉFINITION
L'opérateur sommation est simplement une façon compacte d'écrire une somme lorsque les termes successifs peuvent s'écrire sous la forme d'une expression générale qui varie en fonction d'un indice. Par exemple, la somme x1 + x2 + x3 + x4 + x5 peut s'écrire
5

∑ xi

i =1

Dans cette expression, i est une variable qui prend successivement les valeurs 1, 2, 3, 4 et 5 : le « i=1 » qu'on trouve sous le Σ indique que la valeur initiale de la variable i est 1 ; le « 5 » qu'on trouve au-dessus du Σ indique que la valeur terminale de la variable i est 5. La variable xi est une fonction de la variable i, c'est-à-dire que sa valeur dépend de la valeur de i : quand

i = 1, xi = x1 ; quand i = 2, xi = x2 ; et ainsi de suite. Enfin, le signe Σ indique qu'il faut additionner x1, x2, x3, x4 et x5, les valeurs successives de xi. On lit cette expression de la façon suivante : « la somme des xi pour i variant de 1 à 5 ».
De façon plus générale, on aura n ∑ xi

i =1

= x1 + x 2 + L + xn

De plus, lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté possible sur les valeurs initiale et terminale de l'indice, on peut écrire de façon elliptique

∑ xi i 1

= x1 + x 2 + L + x n

Ce qui suit est largement inspiré de HOHN, Franz E.