FOOTBALL : LA SCIENCE DU PENALTY
Pré-requis : probabilités conditionnelles I. Quelle(s) stratégie(s) adopter en penalty ? .......................... 1 I.1 Données réelles ----------------------------- 1 I.2 Deux stratégies ----------------------------- 4 I.3 L'équilibre de Nash ---------------------------- 5 II. Peut-on tirer un penalty à deux ? .............................. 8 III. Des penalties de légende ................................ …afficher plus de contenu…

Calculer alors la probabilité qu'a le tireur de marquer son penalty.
Deuxième stratégie : le tir aléatoire
Supposons que le tireur frappe dans son « côté naturel » ou pas, de manière totalement aléatoire.
Supposons aussi qu'un gardien a connaissance de cela1.
1. Donner la stratégie à adopter pour ce gardien. 2. Calculer alors la probabilité qu'a le tireur de marquer son penalty.
I.3 L'équilibre de NashI.3 L'équilibre de Nash On voit que l'une des deux stratégies précédentes est meilleure que l'autre.
Mais peut-on faire encore mieux ? Si oui, y a-t-il une stratégie optimale pour le tireur ? Remarquons aussi que cette problématique est symétrique car elle se pose aussi pour le gardien : lui aussi a certainement un côté de préférence ; lui aussi ne peut pas plonger toujours du même côté car cela se …afficher plus de contenu…

John Nash est aussi le sujet du film Un homme d'exception3 avec Russel Crow. Dans la théorie des jeux existe la notion de stratégie pure où chaque joueur choisit une stratégie déterministe, comme pour la première stratégie étudiée, et aussi de stratégie mixte, où chaque joueur choisit au hasard le coup qu'il joue parmi les coups possibles, comme c'est le cas pour la seconde stratégie. Un équilibre de Nash est une situation où aucun joueur n'a intérêt de changer sa stratégie seul (sans que l'autre ne la change aussi).
Dans le cas qui nous intéresse, montrons qu'un tel équilibre existe et fournit pour le joueur et le gardien