Exercices coniques corrigés

→


→

Le plan euclidien P est rapporté à un repère orthonormal (O; i , j )
1-)

a-)

1
Déterminer une équation cartésienne de la parabole de foyer F , 2 et de directrice D: x = 3.
 
2 
––––––––––––––––
On appelle (P) cette parabole.
2
1
(x – 3)2
M(x, y)∈(P) ⇔ MF2 = d(M, D)2 ⇔  – x + (2 – y)2 = 2
2 
1 + 02


1
M(x, y)∈(P) ⇔
– x + x2 + 4 – 4y + y2 = x2 – 6x + 9
4
Une équation cartésienne de (P) est donc:

4y2 + 20x – 16y – 19 = 0 .

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– b-) Déterminer une équation cartésienne de la conique d'excentricité 5, de foyer F(3, 2) et de directrice associée d'équation y = 1.
––––––––––––––––
L'excentricité est supérieure à 1 donc il s'agit d'une hyperbole (H).
(y – 1)2
M(x, y)∈(H) ⇔ MF2 = 25×d(M, D)2 ⇔ (x – 3)2 + (y – 2)2 = 2
0 + 12
2
2
2
M(x, y)∈(H) ⇔ x – 6x + 9 + y – 4y + 4 = y – 2y + 1

aa
Ch
ao

uki

1-)

Une équation cartésienne de (H) est donc:

x2 – 6x – 2y + 12 = 0 .

c-)


→

Déterminer une équation cartésienne de l'ellipse tangente à (O, i ) de sommets principaux A(5, 1) et A'(1, 1).
––––––––––––––––
Géométriquement, le point de contact de l'ellipse (E)

→ avec (O, i ) est B(3, 0) et le centre de l'ellipse est Ω(3, 1).
AA'
Par suite, a =
= 2 et b = ΩB = 1.
2
X2

→ 
→
Dans le repère (Ω, i , j ), (E) a pour équation
+ Y2 = 1.
4
X=x–3

→ 
→
Quand on revient dans le repère (O, i , j ),  Y = y – 1 ce qui donne (x – 3)2 + 4(y – 1)2 = 4.

Une équation cartésienne de (E) est donc: x2 + 4y2 – 6x – 8y + 9 = 0 .

B

1-)

ouz our –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Corrigés des exercices sur les coniques --Lycée Secondaire EL KSOUR-- Page 1

d-)

Déterminer une équation cartésienne de la parabole (P) de foyer F(1, 2) et de directrice D dans les cas suivants: α-) D = (AB) avec A(0,