Bac D 2010 session normale
EXERCICE 1
Partie A
On considère dans C l’équation (E) : 4z3 6i% 3 z2 3(3 + i% 3 )z 4 = 0
1. Déterminer les racines carrées de 6 + 6i% 3 .
2. Résoudre dans C l’équation 2 z2 (1 + 3i % 3 )z 4 = 0
3.a. Développer, réduire et ordonner (2z + 1) 2z2 (1 + 3i% 3 )z 4

!

!

b. En déduire les solutions de (E).
1
1
+ % 3 i ; z2 = 1+ %3 i
4. Soit z0 =
; z1 =
2
2
2
Exprimer chacun des nombres complexes z0 , z1 et z2 sous forme trigonométrique.

Partie B
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé (O; u ; v ) où l’unité est 1 cm, on considère les points
1
1 ;
M0 , M1 et M2 d’affixes respectives
+ % 3 i ;1+ %3 i
2
2
2
S est la similitude directe de centre O, d’angle

(

3

et de rapport 2.

1.a. Déterminer l’écriture complexe de S.
b. Justifier que S( M 0) = M1 et S(M1 ) = M 2
2. Soit Mn un point du plan d’affixe zn .
On pose pour tout nombre entier naturel n, Mn+1 = S(Mn )
Justifier que z n+1 = (1- %3 i ) zn où z n+1 est l’affixe de Mn+1
3. On considère la suite Un définie pour tout entier naturel n par Un = zn
a. Démontrer que Un est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.
b. Justifier que la distance OM 12 = 2048

EXERCICE 2
On teste un médicament sur un ensemble d’individus ayant un taux de glycémie anormalement élevé.
Pour cela, 60% des individus prennent le médicament, les autres recevant une substance neutre et l’on étudie à l’aide d’un test la baisse du taux de glycémie.
Chez les individus ayant pris le médicament, on constate une baisse de ce taux avec une probabilité de 0,8.
On ne constate aucune baisse de ce taux pour 90% des personnes ayant reçu la substance neutre.
1. Calculer la probabilité d’avoir une baisse du taux de glycémie sachant qu’on a pris le médicament.
2. Démontrer que la probabilité d’avoir une baisse du taux de glycémie est 0,52.
3. On soumet au test un individu pris au hasard.
Quelle est la probabilité qu’il ait pris le