Bac S de maths 2008 - Réunion Corrigé de l’exercice 3
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On considère la suite (un )n∈N définie par : u0 = 5 1. a. Calculer u1 . On a directement en utilisant la relation de récurrence : 2 6 u1 = 1 + × 5 + = 15 + 6 = 21 1 1 b. Les valeurs de u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 , u8 , u9 , u10 , u11 sont respectivement égales à : 45, 77, 117, 165, 221, 285, 357, 437, 525, 621. À partir de ces données conjecturer la nature de la suite (dn )n∈N définie par dn = un+1 − un . A partir des données on calcule les premiers termes de (dn ) : d0 = u1 − u0 = 21 − 5 = 16 d3 = u4 − u5 = 40 etc. On conjecture que (dn ) est une suite arithmétique de premier terme 16 et de raison 8 . 2. On considère la suite arithmétique (vn )n∈N de raison 8 et de premier terme v0 = 16. Justifier que la somme des n premiers termes de cette suite est égale à 4n2 + 12n. La somme des n premiers termes d’une suite arithmétique de premier terme v0 est donnée par la relation : Sn = n(v0 + vn−1 ) 2 d1 = u2 − u1 = 45 − 21 = 24 d2 = u3 − u2 = 77 − 45 = 32 et, pour tout entier n 1, un = 1+ 2 n un−1 + 6 n

Dans ce cas on a v0 = 16 et vn−1 = v0 + 8(n − 1) = 16 + 8n − 8 = 8n + 8. L’application de la relation rappelée ci-dessus donne : n(16 + 8n + 8) n(8n + 24) 8n2 + 24n Sn = = = = 4n2 + 12n 2 2 2 3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a : un = 4n2 + 12n + 5 .

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Bac S de maths 2008 - Réunion Corrigé de l’exercice 3
Initialisation En utilisant la formule proposée on a bien u0 = 5, donc la propriété est vérifiée au rang 0. Hérédité On suppose que la propriété est vraie à un certain rang p, on a donc l’hypothèse de récurrence : up = 4p 2 + 12p + 5 On cherche à prouver que la propriété est vraie au rang p + 1. 6 2 up + On sait que up+1 = 1 + p+1 p+1 On remplace up par son expression de l’hypothèse de récurrence : 2 6 up+1 = 1 + (4p 2 + 12p + 5) + p+1 p+1 p+1+2 6 = (4p 2 + 12p + 5)