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LE NOMBRE D’OR
Présentation et calcul du nombre d’or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deux un segment selon en « extrême et moyenne raison » Soit un segment [AB]. Le partage d’Euclide consiste à trouver un point C sur ce segment de telle façon qu’on ait : AB AC = BC AB

A x

B 1

C

On pose AB = x et BC = 1. On a donc AC = x + 1 et

x x +1 = 1 x d’où et par conséquent : ou encore :

Résolution de l’équation x² – x – 1 = 0 On calcule le discriminant ( ∆ )

∆ = (-1)² - 4 × 1 × (-1) = 5
Comme le discriminant est positif, cette équation admet deux solutions : x1 =
1− 5 2

x=

x +1 x

x² = x + 1 x² – x – 1 = 0

et

x2 =

1+ 5 2

Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : 1+ 5 x= 2 Ce nombre est appelé le nombre d’or depuis le XVe siècle. On le note ϕ (la lettre grecque phi en hommage au sculpteur grec Phidias) ou encore τ (tau, autre lettre de l’alphabet grec). La valeur approchée du nombre d’or est ϕ = 1,61803398874989484820… (il y a une infinité de décimales derrière la virgule) Si à partir du segment [AB], on rabat le segment [BC] perpendiculairement, on obtient un rectangle appelé rectangle d’or (rectangle dont le rapport longueur/largeur = ϕ ) .

A

B

C 1

ϕ
1

ϕ

Le nombre d’or

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Propriétés du nombre d’or

Le carré du nombre d’or Comme le nombre d’or est issu de l’équation x² = x + 1, on a ϕ ² = ϕ + 1 Si on ajoute 1 au nombre d’or, on obtient son carré. Les autres puissances de ϕ s’écrivent :

ϕ +1

ϕ2

ϕ3 2 ϕ +1

ϕ4 3 ϕ +2

ϕ5 5 ϕ +3

ϕ6 8 ϕ +5

…

On remarque que chaque puissance est la somme des deux précédente. C’est ce qu’on retrouve dans la suite de Fibonacci. L’inverse du nombre d’or Comme le nombre d’or est issu de l’équation

x x +1 = on a : 1 x

ou encore : soit : ce qui conduit à :

x +1 −1 x x 1 x −1 = + −1 x x 1 x −1 = 1+ −1 x 1 x −1 = x x