Calcul d’incertitude
Précision limitée des appareils

Toute mesure est affectée d’une erreur

Erreur humaine

premières ou directes ( température, temps, dimension,…)
Grandeurs physiques composées (concentration, densité, …)

1 - Incertitude ponctuelle (mesure unique)

incertitude absolue : ∆a incertitude relative : ∆a/ames

a = ames ± ∆a erreur a ? ames ames - ∆a

Grandeur a

ames + ∆a

2 - Incertitudes statistiques (mesures répétitives)
Moyenne arithmétique

Ecart-type

n

∑a

ames= i=1

n

i mes ∆ames

2
1 n i
=
ames − ames )
(
∑ n − 1 i =1

Entre une incertitude ponctuelle et et statistique, on choisira celle dont le ∆ englobe l’autre.

Grandeurs composés

Exemple

X = a×

(b−c) d Comment déterminer l’incertitude ∆X à partir des incertitudes connues ∆a, ∆b, ∆c et ∆d ?

1 - Méthode des dérivées partielles
(la plus générale)

∆X = ∂F ∆a + ∂F ∆b + ∂F ∆c +…
∂a
∂b
∂c

∂F = ∂  a(b−c)= b−c
∂a ∂a  d  d

∂F = ∂  a(b−c) = −a
∂c ∂c  d  d

∂F = ∂  a(b−c) = a
∂b ∂b  d  d

∂F = ∂  a(b−c)  = −a(b−c)
∂d ∂d  d  d2 2 - Méthode algébrique
Les opérations sont appliqués successivement sur les différentes parties de l’expression mathématique.
Les grandeurs premières ne doivent apparaître qu’une fois.
Aucune expression trigonomètrique

Opération

X

∆X

∆X/X

somme

a+b

∆a+ ∆b

∆a+ ∆b/(a+b)

différence

a-b

∆a+ ∆b

∆a+ ∆b/(a-b)

produit

a×b

a∆b+ b∆a

∆a/a+ ∆b/b

quotient

a/b

(a∆b+ b∆a)/b2

∆a/a+ ∆b/b

puissance

an

nan-1∆a

n∆a/a

A retenir: ∆X est la somme des ∆ absolu pour les sommes et les différences.
∆X/X est la somme des ∆ relatifs pour les produits et quotients.

Ecart-type des somme et des différences

y = a ( ± sa ) + b ( ± sb ) − c ( ± sc )

s y = sa 2 + sb 2 + sc 2

Ecart-type des produits et des quotients

y=

a ( ± sa ) × b ( ± sb ) c ( ± sc )

sy

2

2

 sa   sb   sc 