1S

D´rivation-Exercices corrig´s e e

Exercices corrig´s sur la d´rivation dans R e e
Exercice 1 : d´terminer le nombre d´riv´ d’une fonction e e e
Soit f la fonction d´finie sur R par f (x) = x2 + x. e 1. En utilisant la d´finition du nombre d´riv´, montrer que f est d´rivable en 1 et d´terminer f (1). e e e e e
2. V´rifier le r´sultat sur la calculatrice. e e
Solution :
1. Pour tout r´el h non nul,n le taux d’accroissement de f entre 1 et 1 + h est : e τ (h) =

f (1 + h) − f (1)
(1 + h)2 + (1 + h) − (12 + 1)
3h + h2
=
=
=3+h
h h h

Or, lim (3 + h) = 3. Donc f est d´rivable en 1 et f (1) = 3. e h→0

Pour trouver la limite de τ (h) lorsque h tend vers 0, on peut souvent remplacer h par 0 apr`s avoir simplifi´ l’expression e e
(plus de h au d´nominateur). e TI

Casio
MATH

Appuyer sur la touche

8 puis F4
(nbreD´riv´) : e e

F4

nbreD´riv´ = (X 2 + X, X, 1) e e

2.

En mode RUN-MATH, utiliser les instructions
(MATH) puis

(d/dx) : d (X 2 + X, 1) dx Exercice 2 : la mˆme chose, plein de fois e Pour chacune des fonctions suivantes, d´terminer le nombre d´riv´ en a (en utilisant la d´finition) : e e e e 1. f1 (x) = 5x − 3 et a = 1

2. f2 (x) = 3x2 + 2x − 1 et a = 2
√
3. f3 (x) = x + 3 et a = −1 x 4. f4 (x) = et a = −2 x+1 Solution :
1. Pour tout h = 0, le taux d’accroissement de f1 entre 1 et 1 + h est : τ1 (h) =
5(1 + h) − 3 − (5 × 1 − 3) h 5h
(∗) ⇔ τ1 (h) = h (∗) ⇔ τ1 (h) = 5
Or, lim 5 = 5, donc f1 est d´rivable en a = 1 et f1 (1) = 5. e f1 (1 + h) − f1 (1)
(*)
h

(∗) ⇔ τ1 (h) =

h→0

2. Pour tout h = 0, le taux d’accroissement de f2 entre 2 et 2 + h est : τ2 (h) =
3(2 + h)2 + 2(2 + h) − 1 − (3 × 22 + 2 × 2 − 1) h 3h2 + 14h
(∗) ⇔ τ2 (h) = h (∗) ⇔ τ2 (h) = 3h + 14
Or, lim 3h + 14 = 14, donc f2 est d´rivable en a = 2 et f2 (2) = 14. e f2 (2 + h) − f2 (2)
(*)
h

(∗) ⇔ τ2 (h) =

h→0

3. Pour tout h = 0, le taux d’accroissement de f3 entre −1 et −1