EXERCICE I 8 points
Une entreprise fabriquant des montures de lunettes veut créer un nouveau modèle. Pour choisir les matériaux à utiliser, elle mène une enquête auprès de porteurs de lunettes, en proposant dix prix différents. Les résultats sont reportés dans le tableau suivant : Prix de vente proposé pour lamonture (en € ) : | 240 | 320 | 400 | 480 | 560 | 640 | 720 | 800 | Nombre de personnes disposéesà acheter à ce prix : | 402 | 390 | 340 | 230 | 210 | 130 | 70 | 60 |
1. voir annexe
2. Les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points(; )sont ; où est la moyenne des et est la moyenne des . On trouve G( 520 ; 229)
3. On donne le point A de coordonnées (260 ; 409). Voir annexe pour A et G sur le graphique et la droite (AG).
4. Équation de la droite (AG) : (AG) est non parallèle à l’axe des ordonnées donc elle a une équation de la forme , avec Écrivons qu’elle passe par A :et par conséquent l’équation de (AG) est
5. En utilisant l’ajustement précédent, si le prix de vente est 500€ une estimation du nombre de montures Vendues est : .
6. a. étant le prix unitaire, le nombre de montures vendues est alors le coût global de fabrication est la somme des coûts liés à la quantité et des frais fixes d’où : . La recette est le prix de vente par la quantité donc la recette s’élève à . Le bénéfice étant la différence entre les recettes et les coûts, on a donc :
b. Pourappartenant à [240 ; 800], on considère la fonctionqui à x associe. la fonction dérivée de sur [240; 800] est définie par .
c. Étudions les variations de la fonction ,pour x appartenant à l’intervalle [240 ; 800], valeur que l’on prendra par la suite. Si pour tout , alors est croissante sur . pour donc est croissante sur cet intervalle. Si pour tout , alorsest décroissante sur. pour donc est décroissante sur cet intervalle. d’où le tableau : | 240