Antilles Guyane 2009 EXERCICE II. UN TOBOGGAN DE PLAGE ( 5,5 points)
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1. Mouvement de l’enfant entre D et O

1.1. L’origine de l’énergie potentielle de pesanteur est prise au point O : EPPO = 0 J pour y0 = 0 m.
Au point D de hauteur yD = h par rapport au point O, l’énergie potentielle de pesanteur est alors : EPPD = m.g.h

1.2. Energie mécanique au point D :
EMD = ECD + EPPD = ½.m.v²D + m.g.h
Or l’enfant part en D sans vitesse initiale (énoncé) donc vD = 0 m.s-1 et ECD = 0 J d’où :
EMD = m.g.h

1.3. Energie mécanique au point O : EMO = ECO + EPPO = ½.m.v02 + m.g.y0
Comme y0 = 0 m il vient : EMO = ½.m.v02

1.4. Au cours du mouvement les frottements et les actions de l’air sont négligés (énoncé) donc l’énergie mécanique se conserve, ainsi : EMD = EMO  m.g.h = ½.m.v02  v02 = 2.g.h en ne conservant que la solution positive : v0 =
1.5. v0 = = 10 m.s-1.

1.6. En réalité les frottements de l’enfant avec le toboggan et l’air ne sont pas négligeables au cours du mouvement. L’énergie mécanique n’est pas conservée : elle diminue au cours du mouvement car une partie de l’énergie mécanique est transformée en chaleur. Cela explique la nette différence de vitesse (5,0 m.s-1 au lieu de 10 m.s-1) avec le modèle sans frottement.

2. Étude de la chute de l’enfant dans l’eau

2.1. Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquée à un système de masse m est égale à la masse du système multipliée par le vecteur accélération de son centre d’inertie : = m.

2.2. L’enfant de masse m est modélisé par un point matériel G, dans le référentiel terrestre supposé galiléen. L’enfant n’est soumis qu’à son poids : ainsi la deuxième loi de Newton appliquée à l’enfant une fois qu’il a quitté le point O donne : = m.  m. = m.  =
2.3. Dans le repère (Oxy) choisi : (t)
2.4. Sachant que : on a : (t) par intégration (t) or donc (t)
2.5. Sachant que : on a : (t)