∼ Les Coniques ∼ 1 Introduction

Képler (1571-1630) a découvert que les planètes avaient pour trajectoire des courbes étudiées et répertoriées par le Grec Apollonios dix-huit siècles plus tôt ! Ces sections coniques, ou plutôt coniques sont présentées ici sous deux aspects essentiels : * l’aspect géométrique, en tant que lignes de niveau (définition par foyer, directrice et excentricité) ; * l’aspect algébrique, comme courbes définies par certaines équations du second degré. Pour l’exécution de stracés, nous reconnaîtrons dans ces coniques des courbes représentatives définies par une équation cartésienne ou polaire.

2
2.1

Définitions
Définition 1

Soit F un point fixe, D une droite fixe et e un réel strictement positif avec F ∈ D. Pour tout point M du plan, on note H le / MF = e est appelé conique de foyer F , de projeté orthogonal de M sur D. L’ensemble C des points M du plan vérifiant MH directrice D et d’excentricité e. Cette conique est appelée : – Parabole lorsque e = 1. – Ellipse lorsque 0 < e < 1. – Hyperbole lorsque e > 1.

2.2

Définition 2

Soit C une conique de foyer F et de directrice D. On appelle axe focal de C la droite ∆ perpendiculaire à D passant par F .

2.3

Propriété 1

Toute conique admet un axe de symétrie : son axe focal. En effet : Soit M un point de C On note s∆ (M ) = M ′ et s∆ (H) = H ′ Comme ∆⊥D, H ′ ∈ D et (H ′ M ′ )//∆, puisque M ′F MF (HM )//∆. Il en résulte que H ′ est le projeté orthogonal de M ′ sur D. Enfin = = e donc M ′ ∈ C. M ′H ′ MH

2.4

Propriété 2

L’axe focal d’une conique C rencontre cette conique en : – Un unique point S appelé sommet (dans le cas de la parabole). – Deux points distincts S et S ′ appelés sommets ( dans le cas d’une hyperbole ou d’une ellipse). Cherchons les points (éventuels) d’une conique C situés sur son axe focal. Si un tel point existe on l’appellera sommet. Si K MF est le point dfintersection de l’axe focal et de la directrice, ces pointsM vérifient : = e L’ensemble de ces points