Microsoft Word - 1-5-corriges.docENFA - Bulletin du GRES n° 1 - octobre 1995 page 9
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EXERCICES CORRIGES EXERCICE 1 Le physicien SWEDEBORG a analysé un lot complet de 518 prélèvements d'eau. Il a compté le nombre de particules d'or en suspension dans chacun des prélèvement de volume constant 100 ml et a obtenu le tableau suivant : Nombre de partic.: xi 0 1 2 3 4 5 6 7
Nombre de prélèv. : ni 112 168 130 69 32 5 1 1 1°) Pour un prélèvement choisi au …afficher plus de contenu…

2°) Par quelle loi de probabilité peut-on approcher la loi de probabilité de X ? En utilisant cette approximation, calculer des valeurs approchées des probabilités suivantes : * prob(240 < X < 252) ; * prob(232 < X) ; * prob(X < 264). Proposition de corrigé : 1) Pour chaque pied de vigne observé, il n'y a que deux possibilités : * il est malade, avec la probabilité p = 0,400, ou bien * il est sain, avec la probabilité 1-p = 0,600.
On admet qu'il y a indépendance des tirages, la probabilité d'être atteint par la maladie restant constamment égale à 0,400. La loi de probabilité de X est donc la loi Binomiale de paramètres n=600 et p=0,400 soit prob(X=k) = C xk k k
600
6000 400 0 600, , − pour toute valeur entière de …afficher plus de contenu…

E(X) = np = 600 x 0,400, soit E(X) = 240 pieds malades.
V(X) = np(1-p) = 600 x 0,400 x 0,600 soit V(X) = 144. 2) n est grand, p est peu différent de 0,5 ; np (240) et n(1-
p) (360) sont tous deux supérieurs à 5, on peut donc approcher la loi binomiale trouvée en 1°) par une loi Normale. On prend la loi Normale de paramètres μ = 240 et σ = 12.
Soit Y une variable aléatoire suivant la loi normale N(240 ; 12). * prob(240 < X < 252) : utilisant une approximation d'une loi Binomiale, discrète, par une loi Normale, continue, on procède à une correction de continuité. On a donc : prob(240 < X < 252) ≈ prob(240,5 ≤ Y ≤ 251,5) en passant à la variable Normale centrée réduite, on a : prob U240 5 240
12
2515 240
12
, ,−
≤ ≤
−⎛