Exercices révision

Exercice 1 Dans tout l’exercice x et y désignent des entiers naturels non nuls vérifiant x < y. S est l’ensemble des couples (x, y) tels que PGCD(x, y) = y −x. 1. a. Calculer le PGCD(363, 484). b. Le couple (363, 484) appartient-il à S ? 2. Soit n un entier naturel non nul ; le couple (n, n +1) appartient-il à S ? Justifier votre réponse. 3. a. Montrer que (x, y) appartient à S si et seulement si il existe un entier naturel k non nul tel que x = k(y −x) et y = (k +1)(y −x). b. En déduire que pour tout couple (x, y) de S on a : PPCM(x, y) = k(k +1)(y −x). 4. a. Déterminer l’ensemble des entiers naturels diviseurs de 228. b. En déduire l’ensemble des couples (x, y) de S tels que PPCM(x, y) = 228.

Exercice 2

Partie A On considère l’équation (E) : 7x −6y = 1 où x et y sont des entiers naturels. 1. Donner une solution particulière de l’équation (E) 2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers naturels solutions de l’équation (E). Partie B Dans cette partie, on se propose de déterminer les couples (n, m) d’entiers naturels non nuls vérifiant la relation : 7n − 3×2m = 1 (F). 1. On suppose m ≤ 4. Montrer qu’il y a exactement deux couples solutions. 2. On suppose maintenant que m ≥ 5. a. Montrer que si le couple (n, m) vérifie la relation (F) alors 7n ≡ 1 (mod 32). b. En étudiant les restes de la division par 32 des puissances de 7, montrer que si le couple (n, m) vérifie la relation (F) alors n est divisible par 4. c. En déduire que si le couple (n, m) vérifie la relation (F) alors 7n ≡ 1 (mod 5). d. Pour m > 5, existe-t-il des couples (n, m) d’entiers naturels vérifiant la relation (F) ? 3. Conclure, c’est-à-dire déterminer l’ensemble des couples d’entiers naturels non nuls vérifiant la relation (F).

Exercice 1 correction

Exercice 2 correction
1. Le couple (1 ; 1) est une solution évidente de (E) 2. On a donc : 7x −6y = 1 7×1−6×1 = 1 ⇒(par différence)7(x −1)−6(y −1) = 0 [1] ⇐⇒ 7(x −1) = 6(y −1). Comme 7 divise 6(y−1) et est premier