Myriam Maumy-Bertrand

4`eme ann´ee - ESIEA - 2007/2008

T. D. no 1
Les m´ ethodes d’´ echantillonnage Exercice 1. Soit une variable Y d´efinie sur une population de taille N = 4 individus. i Y

1 2 3 4
11 10 8 11

1. Quelle est la distribution de Y ? En d´eduire la moyenne E[Y ] = µ, la variance σ 2 = Var[Y ] et la variance corrig´ee not´ee σc2 .
2. Nous tirons un ´echantillon de taille n = 2 sans remise, a` probabilit´es ´egales.
a) Combien d’´echantillons pouvons-nous tirer ?
b) Pour chaque ´echantillon, calculer sa moyenne µ2 = y et sa variance
2
. corrig´ee S2,c
c) Quelle est la distribution de la moyenne µ2 ? Quelle est la distribution
2
de la variance corrig´ee Sc,2
? En d´eduire, si c’est possible, E[µ2 ], Var[µ2 ],
2
2
E[S2,c ] et Var[S2,c ] .
d) Commenter, c’est-`a-dire comparer et analyser les r´esultats trouv´es.
3. Nous tirons un ´echantillon de taille n = 2 avec remise, a` probabilit´es ´egales.
R´epondre aux mˆemes questions qu’`a la question 2.
Exercice 2. Dans un groupe de 80 ´etudiants on tire au hasard `a probabilit´es ´egales sans remise un ´echantillon de taille n. Nous prendrons n = 4 puis n = 40.
1. Nous observons dans l’´echantillon la variable al´eatoire Y , d´epense hebdomadaire pour la culture. Nous trouvons y = 12 euros et σy = 6 euros. Donner dans les deux cas, une estimation de la d´epense moyenne dans le groupe et la pr´ecision de cette estimation.
2. Nous observons dans l’´echantillon 75% de femmes. Donner dans les deux cas, une estimation de la proportion de femmes dans le groupe et la pr´ecision de cette estimation.
3. Commenter les r´esultats obtenus.
Exercice 3. Une entreprise poss`ede 5 succursales. Un inspecteur ne peut en examiner que 2 par tourn´ees. Dans chaque succursale, nous mesurons une variable d’int´erˆet
Y (Nombre de nouveaux clients dans l’ann´ee). La situation r´eelle des 5 succursales est la suivante :
Y1 = 100;

Y2 = 80;

Y3 = 100;

Y4 = 120;

Y5 = 90.

´
1. Enum´ erer tous les ´echantillons possibles