Prédire / expliquer les valeurs d’une variable quantitative Y à partir d’une autre variable X

Ricco Rakotomalala Ricco.Rakotomalala@univ-lyon2.fr

Équipe de recherche en Ingénierie des Connaissances Laboratoire ERIC

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Position du problème

 

 z

s s Y
E
Y X

s  s Y

/
W

D

yi = a × xi + b + ε i

E z > z y y

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Hypothèses
W 

,

,

y

z z y ε

y z

,

,

>

ε

, , , ,

 >  /
COV (ε i , ε j ) = 0

E (ε i ) = 0
V (ε i ) = σ ε2

COV ( xi , ε i ) = 0

,

>

ε i ≡ N (0, σ ε )

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Estimateur des MCO (Moindres carrés ordinaires)
 

yi a × xi + b

εi

z
S = S =

∑ε i =1 n i =1 n

n

2 i

Z i W K

∑ [y ∑ [y i =1

− ( ax i + b )] 2 − ax i − b ] 2

xi

S =

i

^K>hd/KE

 ∂S  ∂a = 0    ∂S = 0  ∂b 

∑ xi y i − a ∑ xi 2 − bx = 0  i  i  y − ax − b = 0 



 ∑ ( yi − y )(xi − x ) a = i ˆ 2  ∑ ( xi − x ) i  b = y − ax ˆ ˆ 
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 s 6

Exemple des rendements agricoles
Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Moyenne 16 18 23 24 28 29 26 31 32 34 26.1 X 20 24 28 22 32 28 32 36 41 41 30.4 (Y-YB) -10.1 -8.1 -3.1 -2.1 1.9 2.9 -0.1 4.9 5.9 7.9 (X-XB) -10.4 -6.4 -2.4 -8.4 1.6 -2.4 1.6 5.6 10.6 10.6 Somme (Y-YB)(X-XB) (X-XB)^2 105.04 108.160 51.84 40.960 7.44 5.760 17.64 70.560 3.04 2.560 -6.96 5.760 -0.16 2.560 27.44 31.360 62.54 112.360 83.74 112.360 351.6 492.4

351.6  ˆ = 0.714 a = 492.4  b = 26.1 − 0.714 × 30.4 = 4.39 ˆ 
35 33 31 29 27 25 23 21 19 17 15 15 20 25 30 35 40 45

y = 0.7141x + 4.3928

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