Mme Morel-Sp´cialit´ math-cours similitudes e e

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Les similitudes
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1.1

Vocabulaire, rappels
Transformations du plan

D´finition 1.1.1. Une application f du plan dans lui mˆme est une tranformation si f est une bijection du plan dans e e lui mˆme, c’est-`-dire si pour tout point N du plan, il existe un et un seul point M du plan tel que f (M ) = N . e a Exemples : 1. Une translation, une homoth´tie, une rotation, une r´flexion sont des transformations du plan. e e 2. L’application identit´, not´e id, qui ` tout point M du plan associe le point M , est une transformation du plan. e e a 3. Dans le plan, on consid`re une droite D. Soit p la projection sur D (l’application qui ` tout point M du plan e a a associe le point m, intersection de D et de la perpendiculaire ` D passant par M ). Alors p n’est pas une projection (faire un dessin). D´finition 1.1.2. Une isom´trie est une transformation du plan conservant les distances. e e Exemples : 1. Une rotation, une translation, une r´flexion sont des isom´tries. e e 2. Une homoth´tie de rapport diff´rent de ±1 n’est pas une isom´trie. e e e D´finition 1.1.3. On appelle invariants de la transformation f les points M du plan tels que f (M ) = M . e Exemples : 1. Le centre d’une rotation, d’une homoth´tie sont invariants. e 2. Une translation n’admet pas de points invariants.

1.2

Triangles semblables

D´finition 1.2.1. Deux triangles sont dits semblables si les angles non orient´s de l’un sont ´gaux aux angles non e e e orient´s de l’autre. e Si les angles orient´s sont conserv´s on dit alors que les triangles sont directement semblables. e e Si les angles orient´s sont au contraire transform´s en leurs oppos´s, on dit que les triangles sont indirectement e e e semblables. DESSIN ! Th´or`me 1.1. Deux triangles sont semblables si et seulement si les rapports des cˆt´s est constant, c’est-`-dire si les e e oe a cˆt´s de l’un ont des longueurs proportionnelles aux cˆt´s de l’autre. oe oe D´monstration : Voir cours