Arithm´tique e
I. Division euclidienne
La division euclidienne est la division dont le dividende, le diviseur, le quotient et le reste sont des nombres entiers (c’est la division vue ` l’´cole primaire). a e Voici la division euclidienne de 85 par 3 :

Signification : 85 = 3 ¢ 28 + 1 Dans 85, il y a 28 fois le nombre 3 et il reste 1. Remarquons que le reste est toujours strictement inf´rieur au diviseur. e

II. Diviseurs et multiples d’un nombre
D´finition e
Soient m et d deux nombres. On dit qu’un nombre d est un diviseur d’un nombre m s’il divise ce nombre, c’est-`-dire si le reste de a la division euclidienne de m par d est nul. Vocabulaire : On dit que : d divise m ou encore que : m est divisible par d ou encore que : m est un multiple de d Exemple : 98 = 7 ¢ 14 7 est un diviseur de 98. Remarque : On dira que 98 est un multiple de 7. 1 est un diviseur de tous les nombres.

III. Diviseur commun
D´finition : e
Soient deux nombres a et b. Un diviseur commun ` a et ` b est un nombre qui divise a et qui divise b. a a Exemple : Les diviseurs de 60 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60. Les diviseurs de 48 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48. Les nombres 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 divisent les nombres 60 et 48. Ce sont des diviseurs communs ` 60 et 48. a

Fiche issue de http://www.ilemaths.net

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D´finition : e
Le PGCD de deux nombres est le plus grand commun diviseur de ces deux nombres. Exemple : Le plus grand diviseur commun ` 60 et 48 est 12. On note alors : PGCD (60 ; 48) = 12. a Algorithmes : Algorithme des soustractions successives :

Algorithme d’Euclide :

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Propri´t´s e e
Soient a et b deux nombres entiers positifs. ­ PGCD(a ; a) = a ­ Pour a b, PGCD(a ; b) = PGCD(a - b ; b) ­ si a divise b, alors PGCD(a ; b) = a

IV. Nombres premiers entre eux
D´finition e
Deux nombres entiers positifs sont premiers entre eux si leur PGCD est ´gal ` 1. e a Exemple : Les