STS

AVA

Échantillonnage
-A-Théorème de la limite centrée.
-A.I-Exemple:
Considérons pour la suite X i une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes X  X 2 ⋯ X n une loi normale N   ;  et notons X n= 1 . n On sait que X 1  X 2 ⋯ X n suit une loi normale et que E  X 1 X 2⋯ X n  =E  X 1 E  X 2  ⋯E  X n =⋯==n   et que
1i n

V  X 1 X 2⋯ X n  =V  X 1  V  X 2  ⋯V  X n = 2 2 ⋯ 2 =n  2  n termes

n termes

Ainsi X 1  X 2 ⋯ X n suit une loi normale N  n ;  n   et par conséquent, X  X 2 ⋯ X n  suit une loi normale N ; X n= 1 n n





Observations:

-A.II-Théorème.

1. Plus on prendra n grand , plus l'écart type se réduira. X n − X − = n n 2. la variable aléatoire  suit une loi normale N  0 ;1  centrée réduite.  n





Théorème de la limite centrée:

Soit X 1 ; X 2 ;; X n n variables aléatoires indépendantes suivant des loi identiques, admettant pour espérance  et pour écart-type  . Pour n suffisamment grand, la variable aléatoire X 1  X 2 ⋯ X n X n= n  suit approximativement la loi normale N ; . n Remarque: Les X i ne sont pas obligés de suivre une loi normale pour que X n s'en rapproche lorsque n devient « grand ».





Échantillonnage

1/2

STS

AVA

-A.III-Application:
a)distribution d'échantillonnage de la moyenne
Considérons une population d'effectif N dont un caractère a pour moyenne m et d'écart-type  . En prélevant un échantillon de n individus, si on considère que chacun des tirages de l'échantillon a été effectué avec remise , les valeurs prises par le caractère pour chaque individu sont des variables aléatoires X i indépendante de même moyenne m et écart-type  . X  X 2 X n la variable aléatoire X n= 1 associe à cet échantillon sa moyenne, et plus n généralement à tout échantillon sa moyenne. Daprès le théorème de la limite centrée on a la

Loi d'échantillonnage des moyennes:
Considérons une