EXERCICE 2. Suites
1. a) Pour n = 3, le résultat arrondi au dix-millième est 1,834 .
b) Cet algorithme calcule et affiche le terme de rang n de la suite donnée dans l’énoncé.
c) Il est raisonnable de conjecturer que la suite (un) est croissante et qu’elle converge vers 2.
2. a) On procède par récurrence sur la rang n.
- pour n = 0 , u0 = 1 vérifie bien 0 < u0 ≤ 2
- supposons que l’on a vérifié pour un certain entier n : 0 < un ≤ 2 on multiplie chaque membre par 2 > 0 : 0 < 2un ≤ 4 on utilise le fait que la racine carrée est strictement croissante : 0 <
√
2un ≤ 2 on en déduit 0 < un+1 ≤ 2, ce qui prouve que la propriété est héréditaire
- on peut alors conclure que pour tout entier n , 0 < un ≤ 2
b) On démontre par récurrence que pour tout entier naturel n, un ≤ un+1
- pour n = 0 , on a u0 = 1, u1 =
√
2 ≈ 1, 414 et on vérifie bien u0 ≤ u1
- supposons que l’on a vérifié pour un certain entier n : un ≤ un+1 on multiplie chaque membre par 2 > 0 : 2un ≤ 2un+1 on utilise le fait que la racine carrée est strictement croissante : √
2un ≤ p 2un+1 on en déduit un+1 ≤ un+2, ce qui prouve que la propriété est héréditaire
- on peut alors conclure que pour tout entier n , 0 < un ≤ un+1
La suite (un) est par conséquent croissante .
c) Puisque la suite (un) est croissante et majorée par 2, elle est convergente.

2)a. Soit Pn :" Un inférieur ou égale à n+3"
Initialisation: Démontrons que P0 est vraie c'est à dire que U0 inférieur ou égale à 0+3.
Or U0=2 qui est inférieur à 3
Donc P0 est vraie .
Hérédité :Soit Pn vraie à un range n fixé .
Démontrons que Pn+1 est vraie c'est à dire que Un+1 inférieur ou égale à (n+1) +3 n+1=N n= N-1 par hypothèse de récurrence , Un< n+3