Universit´e Libre de Tunis

Chekib GHORBEL

DS Commande num´ erique 3`eme Ing´enieurs

D´epartement M´ecatronique

1H30

2 avril 2015

Probl` eme Un circuit RLC est donn´e par la figure suivante :

1. Ecrire les ´equations ´electriques d´ecrivant ce circuit.
2. V´erifier que la repr´esentation d’´etat continue est donn´ee par :

( R2
)
( 1 )
−L
− L1

L x˙ (t) = x (t) + u (t)
1
1
1
−
R1 C
C
R1 C
(
)

y (t) = R2 0 x (t)
)
( i (t) vecteur d’´etat et y (t) sortie. pour x (t) = v (t)
3. Calculer la fonction de transfert H(p).
On prend dans la suite :
H (p) =

p2

p+2
+ 2p + 1

La p´eriode d’´echantillonnage est T = 1 s.
4. On place un ´echantillonneur bloqueur d’ordre z´ero en s´erie avec le syst`eme.
V´erifier que la fonction de transfert ´echantillonn´ee H(z) est :
H (z) =

z2

0.89 z − 0.1
− 0.74 z + 0.14

Soit le syst`eme ´echantillonn´e :

5. Soit C(z) = K.
´
(a) Etudier la stabilit´e du syst`eme K -boucl´e.

(b) Calculer l’erreur de position εp (∞).
(c) Peut-t-on avoir εp (∞) = 10%. Pourquoi ?
6. On place maintenant C(z) de la forme : z − 0.37
C(z) = K z − α
(a) Tracer les conditions de stabilit´e dans le plan (α , K).
(b) Tracer les conditions dans le plan (α , K) telles que εp (∞) < 10%.
Discuter les deux cas.
7. Questions bonus
(a) V´erifier que le syst`eme initial ´echantillonn´e peut se mettre sous la forme matricielle suivante :
{
x (k + 1) = A x (k) + B u (k) y (k) = C x (k) avec :
(
( )
)
(
)
0
1
0
A=
, B= et C = −0.1 0.89
−0.14 0.74
1
(b) D´eterminer la loi de commande num´erique u(k) = −Kx(k) permettant de stabiliser le syst`eme boucl´e ´echantillonn´e aux pˆoles 0.4 et 0.2.
Annexes
Crit` ere de Jury
Le polynˆome d´enominateur de la fonction de transfert ´echantillonn´ee :
D (z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 avec an > 0 Conditions de stabilit´e :
– pour n=1 : |a0 | < a1
– pour n=2 : |a0 | < a2 ; a0 + a1 + a2 > 0 et a0 − a1 + a2 > 0
Transform´
ees en z usuelles
( )
( )
( )
1
z
1
Tz
1
TZ p = z−1 , TZ p2 = (z−1)2 , TZ p+a
=

(

z

z−e−

a T