Classe de
1èreSTI2D

DEVOIR MAISON N°1

Exercice n°1 : Triangle rectangle.

Correction

A

C

Trouver x pour que le triangle soit rectangle en B.
B

Si le triangle ABC est rectangle en B, il vérifie la propriété de Pythagore :
AC2 = AB2 + BC2
(3x – 2)2 = (2x + 2)2 + x2
9x2 – 12x + 4 = 4x2 + 8x + 4 + x2
9x2 – 4x2 – x2 – 12x – 8x + 4 – 4 = 0
4x2 – 20x = 0
4x (x – 5) = 0
Un produit de facteurs est nul si l’un au moins des facteurs est nul :
4x = 0 ou x – 5 = 0 x=0 ou x = 5. x = 0 n’est pas une solution possible car dans ce cas, [BC] n’a pas de mesure. La seule mesure de x qui convient est donc x = 5. Le triangle a pour côtés : AB = 12 ; BC = 5 et AC = 13.
On a bien 132 = 169 et 122 + 52 = 144 + 25 = 169.
Exercice n°2 : Nombre d’or x y
1°) =
: on factorise les quantités du membre de droite de l’égalité par y. On a : y x–y x y×1
1
=
=
(car le numérateur et le dénominateur sont multiplier par le même nombre y). y x x  – 1 y × y  y – 1

 x 1
On remplace alors par φ et on obtient l’égalité : φ = y φ–1
⇔ φ × (φ – 1) = 1
⇔ φ2 – φ = 1
⇔ φ2 – φ – 1 = 0
2°) Déterminer φ, racine positive de l’équation φ2 – φ – 1 = 0.
∆ = b2 – 4ac = (–1)2 – 4 × 1 × (–1) = 5 > 0. Il y a donc deux racines :
–b + ∆ –(–1) + 5 1 + 5 x1 =
=
=
2a
2×1
2
–b – ∆ –(–1) – 5 1 – 5 x2 =
=
=
2a
2×1
2
1+ 5
La seule racine positive est x1 donc φ =
≈ 1,618 à 10–3 près par défaut.
2
3°)
(1) On a : φ2 – φ – 1 = 0 ⇔ φ2 = φ + 1

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Correction

(2) On a : φ2 – φ – 1 = 0 ⇔ et φ2 – φ = 1 : on divise chaque membre de l’égalité par φ ≠ 0 ⇔ φ – 1 =

1 φ 4°) a) Figure complète :
b) EF = EC (rayon du cercle)
Calcul de EC : dans le triangle EBC rectangle en B, d’après
La propriété de Pythagore, on : EC2 = EB2 + BC2
EC2 = a2 + (2a)2 = 5a2 donc EC = EF = 5a.
AF = AE + EF = a + 5a = (1 + 5)a.
AF (1 + 5)a 1 + 5
=
=
=φ
2a
2
AD
Le rectangle AFGD est bien un rectangle d’or.

c) Calcul de BF : BF = EF – EB = 5a – a = ( 5 – 1)a
2a
2
2 × ( 5 + 1)
BC
=
=
=
BF ( 5 – 1)a
5 – 1 ( 5 – 1) × ( 5 +