Terminale S3

Corrigé du Devoir Maison n˚ 5

Mardi 1er mars 2 011

Exercice : Formule de l’exponentielle
Soit un réel. ( ) la proposition « e = (e ) ». Démontrons-la par récurrence sur ℕ.

Pour tout entier naturel , on note Initialisation : Pour donc = 0, on a

e0× = e0 = 1 = (e )0

(0) est vraie. ( ) vraie et montrons qu’alors ( + 1) l’est aussi.

Hérédité : Soit un entier naturel. Supposons Il vient alors e(
+1)

= e = e

+

×e
1 +1

d’après les formules algébriques de la fonction exponentielle puisque ( ) est supposée vraie

= (e ) × (e ) = (e ) On a donc démontré que, si

( ) est vraie, alors

( + 1) l’est aussi. ( ) est vraie pour tout entier , ce qui signifie que e = (e )

Conclusion : On en déduit par récurrence sur ℕ que ∀ ∈ ℕ,

Exercice : Formule du logarithme népérien
Soit un réel strictement positif. ( ) la proposition « ln ( )= ln( ) ». Démontrons-la par récurrence sur ℕ.

Pour tout entier naturel , on note Initialisation : Pour donc = 0, on a

ln (0) est vraie.

0

= ln(1) = 0 = 0 × ln( )

Hérédité : Soit un entier naturel. Supposons Il vient alors ln
+1

( ) vraie et montrons qu’alors

( + 1) l’est aussi.

= ln = ln =

× + ln( ) d’après les formules algébriques de la fonction logarithme népérien ( ) est supposée vraie

ln( ) + ln( ) puisque

= ( + 1) ln( ) On a donc démontré que, si ( ) est vraie, alors ( + 1) l’est aussi. ( ) est vraie pour tout entier , ce qui signifie que ln ( )= ln( )

Conclusion : On en déduit par récurrence sur ℕ que ∀ ∈ ℕ,

Exercice : Formules des module et argument
Soit un complexe non nul. ( ) la proposition « ∣ ∣ = ∣ ∣ et arg ( ) = arg( ) [2 ] ».

Pour tout entier naturel , on note Démontrons-la par récurrence sur ℕ. Initialisation : Pour

= 0, on a, comme

(et donc ∣ ∣) est non nul,
0

= ∣1∣ = 1 = ∣ ∣0

De même, il vient, modulo [2 ], arg donc arg
0 0

= arg(1) = 0 car 1 est un réel strictement positif (0) est vraie. ( ) vraie et montrons qu’alors