DEVOIR MAISON FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

Les trois problèmes suivants sont indépendants et obligatoires. Le barème est donné à titre indicatif.

1

Un problème classique [5 points]
Soit f la fonction définie sur R par ∀x ∈ R f (x) = 2. Étudier les variations de f sur R. 3. Soit g la fonction définie par ∀x ∈ R (a) Démontrer que ∀x ∈ R −5 . g(x) = √ 2 + 4x + 5 x g(x) = x2 + 4x − f (x). f (x) x2 + 4x + 5.

1. Justifier rapidement que le domaine de définition de f est bien R.

(b) En déduire les variations de g sur R et l’existence d’un minimum dont on donnera la valeur exacte.

2

Exemples et contre-exemples sur la monotonie des fonctions [12 points]
Quelques consignes et critères d’évaluation avant de commencer : ce problème, découpé en trois parties de difficulté croissante, constitue un exercice de recherche. En conséquence, seront pris en compte dans le barème de correction les idées développées, les essais même s’ils sont infructueux, les contrôles des réponses données. Ce problème a notamment pour but de rappeler aux scientifiques en devenir que « faire des mathématiques », c’est aussi diversifier les raisonnements et nourrir l’idée qu’un résultat apparemment ou intuitivement vrai ou généralisable ne l’est pas nécessairement. Par ailleurs, les résultats mis en lumière peuvent être appris au même titre qu’un résultat de cours. Ces résultats font partie des connaissances exigibles à l’entrée de terminale S.

2.1

Monotonie de la somme de deux fonctions monotones sur un intervalle

On veut montrer dans cette partie que la somme de deux fonctions monotones sur un intervalle n’est pas nécessairement monotone sur cet intervalle. 1. Soit f la fonction définie pour tout réel x par f (x) = −x. Quel est son sens de variation sur [0, +∞[ ? Fonctions de référence 1 Première S

2. Même question pour la fonction g définie pour tout réel x par g(x) = x2 . 3. (a) Soit x un réel positif. Démontrer que f (x) + g(x) = x− 1 2
2

1 − . 4

(b) Conclure par rapport