TSI1 Devoir Maison n◦2 pour le mercredi 20/10/2021
Devoir à rendre par groupes de deux ou trois élèves, en indiquant précisément quel élève a traité quelle partie.
Soignez la rédaction et la présentation du devoir. Tous les résultats doivent être encadrés ou soulignés.
Exercice 1 : (In)équations
1. Résoudre dans l’intervalle [−π, π] l’inéquation 8 cos3(x) > 6 cos(x)− 2.
On remarquera que X = 0.5 est une racine du polynôme 8X3 − 6X + 2.
2. Résoudre dans R l’équation : cos
(
2x− π
3
)
= sin
(
x+ π 4
)
.
Une représentation graphique de l’ensemble des solutions est attendue.
3. Résoudre dans R l’équation x
√
x = (
√
x) x . (Aide : on utilisera pour a > 0 et x ∈ R : ax = ex ln(a))
Exercice 2 : Démonstrations d’inégalités
1.a. Montrer que pour tout (a, b) ∈ R2,
(a+ b)2
4
> ab.
b. En déduire que si a et b sont …afficher plus de contenu…

b. Nature de la suite (vn)n>2 définie par vn = ln(un) :
Pour n > 2, un = 2n−2 × …afficher plus de contenu…

Ainsi, on reconnâıt que (vn)n>2 est une suite arithmétique de raison ln(2).
c. Notons pour n > 2 la somme Sn = n∑ k=2 vk et le produit Pn = n∏ k=2 uk. Par formule sur les sommes de termes consécutifs de suites arithmétiques :
Sn = n∑ k=2 vk = (n−2+1)(v2+vn)
2
= (n−1)(ln(a)+ln(a)−2 ln(2)+n ln(2)
2
= (n−1)(2(ln(a)−ln(2))+n ln(2))
2
.
8Par ailleurs, Sn = n∑ k=2 vk = n∑ k=2 ln(uk). On remarque alors que par règle opératoire du logarithme :
Sn = n∑ k=2 ln(uk) = ln
(
n∏ k=2 uk
)
= ln(Pn).
Par un passage à l’exponentielle, Pn = eSn = e
(n−1)(2(ln(a)−ln(2))+n ln(2)
2 .
Une autre façon aurait été de calculer Pn