Année 2021-2022 – ECG1 & ECG2 – Lycée Janson de Sailly DS 11 –
– Devoir surveillé n◦ 11 –
– Le mardi 14 Mai 2022 –
Voici les consignes d’usage, présentes dans le libellé des épreuves de mathématiques des concours :
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d’aucun document ; seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée.
N’oubliez pas de bien numéroter vos copies et de traiter les questions dans l’ordre.
Les …afficher plus de contenu…

1Année 2021-2022 – ECG1 & ECG2 – Lycée Janson de Sailly Corrigé du DS 11 –
Solution 2 Inspiré de Écricome voie E 2018
Partie I
1. (a) Le calcul donne
A2 − 7A =
−12 0 0
0 −12 0
0 0 −12
 = −12I3
(b) La relation matricielle obtenue à la question précédente permet de voir que le polynôme X2 − 7X + 12 est un polynôme annulateur de …afficher plus de contenu…

Conclusion : A est inversible et A−1 = − 1
12
(A− 7I3).
2. (a) Il faut résoudre. Soit (x, y, z) ∈ R3.
(x, y, z) ∈ Ker(f) ⇐⇒

x− y − z = 0
−3x+ 3y − 3z = 0
−x+ y + z = 0
⇐⇒ (x, y, z) = x(1, 1, 0)
Conclusion : ker(f) = Vect((1, 1, 0)).
(b) On calcule :
B − 2I3 =
−1 −1 −1
−3 1 −3
−1 1 −1

On remarque que la première et la dernière colonne sont égales donc rang(B− 2I3) = rang
−1