DEVOIR 1
Barème : 20 points Durée estimée : 2 heures
Le problème 2 nécessite une révision de votre cours de 1re année (unité 4)

Problème 1 (9 points)

Problème 2 (11 points)
Partie A : 3 points
Question 1 : 1,5 points
1. 1 point
Question 2 : 3 points
2. 1 point
Question 3 : 2 points
3. 1 point
Question 4 : 1,5 points
Partie B : 6 points
Question 5 : 3 points
1. 1 point
2. 2 points
3. 1 point
4. 2 points

Problème 1

Partie A
Soit une suite géométrique (un) de premier terme u0 strictement positif et de raison 1,157.
1) Déterminer le terme un en fonction de n.
2) Déterminer la somme des dix premiers termes de la suite géométrique (un).
3) Déterminer la limite de la suite géométrique (un).

Partie B
Notons P0 le prix d’un article au 1er janvier 2013.
Supposons que l’indice de prix de détail augmente de 15,7 % par an régulièrement.
1) Déterminer, en fonction de P0, le prix, noté P1 au 1er Janvier 2014.
2) Montrer que les prix d’un article aux 1er Janvier 2013, 1er Janvier 2014, 1er Janvier 2015… sont les termes d’une suite géométrique dont on précisera la raison.
3) Supposons que, le prix au 1er Janvier 2013, P0 = 100 €. Quel sera le prix de l’article au 1er Janvier 2023 ?
4) Supposons maintenant que le P0 est quelconque.
Au cours de quelle année le prix d’un article aura-t-il doublé par rapport à son prix au 1er Janvier 2013 ?

Problème 2

À partir de 2012, une association d’aide à la recherche médicale envoie chaque année à Monsieur X un courrier pour l’inviter à l’aider financièrement par un don.
Monsieur X a répondu favorablement en 2012 en envoyant un don.
On admet que chaque année à partir de 2013, la probabilité pour que Monsieur X fasse un don est égale à :
– 0,9 s’il a fait un don l’année précédente ;
– 0,4 s’il n’a rien donné l’année précédente
On note En l’événement : « Monsieur X est donateur en 2013+n » et En l’événement contraire de En.
On note pn la probabilité de En.
1) Traduire en termes de probabilités faisant intervenir E0 ,En ,En ,En+1, les