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COMPLEXES
I) Définition
1) Forme algébrique Soit un point M du plan de coordonnées (x, y), l'affixe de M est le nombre complexe z=x+iy où i est le nombre imaginaire qui vérifie L'ensemble des nombres complexes est noté . ) .

x+iy est la forme algébrique de z. (avec x et y x est la partie réelle de z : on la note x=Re(z) y est la partie imaginaire de z : on la note y=Im(z) z est aussi l'affixe du vecteur Exemple : .

Soient z=x+iy et z'=x'+iy'

z=z' Re(z)=0 Im(z)=0 z=iy z=x z est un imaginaire pur z est un réel

Tout point M du plan d'affixe z=x+iy a pour symétrique par rapport à l'axe des abscisses le point d'affixe z'=x-iy.

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x-iy est le conjugué de x=iy, noté

Relations entre complexes : =

zz+ z est réel z= z=-

z est un imaginaire pur

Si A et B ont pour affixe

et

, alors l'affixe du vecteur

est

Exemples : cf la partie exercices relative aux Complexes

2) Forme trigonométrique Soit z=a+ib, d'image M. La distance OM est appelée module de z, noté et on a Soit z=a+ib, d'image M. Un argument de z, noté arg(z) est une mesure en radian de l'angle ( arg(
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)= .

)= - arg(z)
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L'écriture z = r ( cos

+i sin ) est la forme trigonométrique de z.

z=a+ib=r(cos

+isin )

donc

Figure 1: z=1-i

arg(z) : cos = sin d'où ==

Soient z = r ( cos

+i sin

) et z' = r' ( cos

+i sin

)

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z=z'

(n arg ( arg (z arg (

)

) = arg(z)-arg(z') z') = arg(z)+arg(z') ) = n arg (z)
(se démontre par récurrence)

3) Forme exponentielle réel, on a cos +i sin = est z

La forme exponentielle des complexes z de module r