QENIC Module A21 Année 2002-2003
Samedi 1er février 2003
CORRECTION Q.R.O.C
Exercice 1
Soit sinc(t) x(t)=
1. Montrer que x(t) est un signal à énergie finie.
D'après le relation de Parseval, ( ) ( )∫∫ ==
IR
2
IR
2 x dffXdttxE
Puisque X(f) = rect(f), ( ) ∞<== ∫ 1dffXE
IR
2 x donc x(t) est un signal à énergie finie.
2. Soit ( ) ( ) ( )∑
+∞
−∞=
−=
k ee T.kt.txTty δ
a. Calculez la transformée de Fourier de y(t). Représentez graphiquement y(t) et Y(f). Commentez.
( ) ( ) ∑∑∑
+∞
−∞=
+∞
−∞=
+∞
−∞= …afficher plus de contenu…

Que proposez-vous pour récupérer x(t) à partir de z(t).
1
f y(t) f1/Te
1
1/2-1/2
Y(f)
-1/TeTe 1
1/2 f1/Te
1
-1/2
Z(f)
-1/Te
3ENIC Module A21 Année 2001-2002
2
Pour récupérer x(t), il suffit de filtrer z(t) par un passe bande centré en 1/Te de fréquences de coupure f1 (f1 γ [0.5, -0.5+1/Te]) et f2 (f2 γ [0.5=1/Te, -0.5+2/Te]) puis de translater la représentation en fréquence du signal résultant sur la fréquence 0. soit ( ) [ ]( ) ( )[ ]fZf1TFetx̂
21
e f,f
1
t
T
1j2
−
−
=
π
( ) ( ) ( )f2csinf2csin2
2
1fX ∆∆∆
∆
==
Exercice 2
Soient ( )21 ,ΨΨ avec ( ) ( )tf2cos2t 01 πΨ = et ( ) ( )tf2sin2t 02 πΨ = une base de signaux d'un espace H.
1. Quelle est la nature énergétique de Ψ1 et Ψ2.
Ψ1 et Ψ2 étant périodique de période T0=1/f0, ils sont à puissance moyenne …afficher plus de contenu…

Un signal dilaté en temps est compréssé dans le domaine des fréquence et réciproquement.
1/T-1/T 2/T f
Y2(f)1
f
Y1(f)=X(f)
1 2-1-2 3
1
f
1
2-1-2 3
Arg(Y1(f))
Arg(sinc(f)) f 1/T 2/T
-1/T
Arg(Y2(f))ENIC Module A21 Année 2001-2002
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b. Si T tend vers 0, que deviennent y2(t) et sa transformée de Fourier ?
Le support de y2(t) tend vers 0, et y2(0) tend vers l'infini. De plus l'intégrale de y2(t) sur IR étant toujours égale à 1 (quelque soit T), y2(t) tend vers une impulsion de Dirac δ(t) et Y2(f) tend vers 1