1 Corrigé du CC1
1.1 Exercice 1 :
(1) Soient (X, dX) et (Y, dY ) deux espaces métriques. Soit f : X → Y une fonction. On dit que f est continue si et seulement si l’une des deux conditions équivalentes suivantes sont vérifiées :
1) ∀x ∈ X,∀ε > 0∃η > 0 |∀x′ ∈ X, dX(x, x′) < η ⇒ dY (f(x), f(x′)) < ε
2) L’image réciproque par f de tout ouvert de Y est un ouvert de X.
(2) Soit (X, d) un espace métrique. On dit que X est compact si et seulement si l’une des deux conditions
équivalentes …afficher plus de contenu…

Inversement, soit z ∈ B(x, r). Alors d(z, y) ≤ max(d(z, x), d(y, x)) < r, donc B(x, r) ⊂ B(y, r).
2 Si B(x, r) ∩ B(x′, r′) 6= ∅ alors soit y dans l’intersection des ces boules. Par ce qui précède, B(x, r) = B(y, r), et B(x′, r′) = B(y, r′). Donc celle qui a le plus grand rayon contient l’autre.
3 Soit B = B(x, r) une boule ouvert de X, et soit y /∈ B, ce qui revient à dire que d(x, y) ≥ r. Montrons que B(y, r) ∩ B(x, r) = ∅. En effet, si z ∈ B(y, r) ∩ B(x, r), alors par l’inégalité triangulaire ultramétrique, d(x, y) ≤ max(d(y, z), d(y, x)) < r, donc y ∈ B(x, r), ce qui est absurde. Donc B(y, r) ∩ B(x, r) = ∅, et donc
B(x, r) est un fermé.
1.5 Exercice 5
1 Remarquons déjà que la fonction d est bien définie, car c’est une série positive dont les termes sont …afficher plus de contenu…

On dira que X est séquentiellement compact s’il vérifie la deuxième affirmation.
2.1 Sens direct
Supposons que X est compact, et soit xn une suite de X. On a vu en TD les choses suivantes :
� L’ensemble des valeurs d’adhérence de xn est ∩n∈N{xk|k ≥ n}
� dans un compact, une intersection décroissante de fermés non vides est non vide.
La combinaison de ces deux propositions permet d’affirmer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de xn est non vide. 2.2 Réciproque
On commence par montrer deux propriétés des espaces séquentiellement compacts.
Proposition 2.1. Soit X un espace métrique séquentiellement compact. Alors pour tout ε > 0, on peut