Correction des épreuves des Olympiades Nationales de Mathématiques
Organisées par la Communauté Mathématique
Phase Nationale du 18 février 2023
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Seconde
1. Quelle est la valeur de x tel que: x 2
3 − 2, 2− 31
20 = 4max(−1,−3) où max(a, b) renvoie au plus grand nombre entre a et b?
Correction:
x
2
3 − 2, 2− 1, 55 = 4max(−1,−4) x 2
3 − 3, 75 = 1
4
x
2
3 = 0, 25 + 3, 75 x 2
3 = 4 x = 4
3
2 x = (
√ …afficher plus de contenu…

3. Montrez que dans un groupe de 20 personnes, si l’amitié entre deux personnes est toujours réciproque, il existe au moins deux personnes qui ont le même nombre d’amis.
Démonstration acceptable:
Chaque personne peut avoir entre 1 et 19 amis puisqu’on ne peut pas être ami avec soi-même. Puis que nous avons 19 nombres pour le nombre d’amis possibles, et 20 nombres d’amis possibles, donc il doit y avoir au moins deux personnes avec le même nombre d’amis.
Première
1. Quelle est la valeur de x tel que: x
2
3 − 2, 2 − 31
20 = 4max(−1,−3) où max(a, b) renvoie au plus grand nombre entre a et b?
Correction:
x …afficher plus de contenu…

Aussi, b = (A1 ×A2 ×A3 × · · · ×An)× (C1 ×C2 ×C3 × · · · ×Ck) ou C1 · · ·Ck sont les nombres premiers uniques à b seulement.
Nous avons PGCD(a, b) = (A1 × · · · ×An) et PPCM(a, b) = (A1 × · · · ×An)× (B1 ×
· · · ×Bm)× (C1 × · · · × Ck).
Donc PGCD(a, b)× PPCM(a, b) = XY
= (A1 × · · · ×An)× (A1 × · · · ×An)× (B1 × · · · ×Bm)× (C1 × · · · × Ck)
= (A1 × · · · ×An)× (B1 × · · · ×Bm)× (A1 × · · · ×An)× (C1 × · · · × Ck)
= a× b
Le PGDC de a et b renvoie au produits des nombres premiers diviseurs communs de a et de b alors que le PPCM de a et b renvoie à tous les premiers diviseurs du plus grand nombre entre a et b.