Correction du Bac Blanc de mathématiques du 10 mars 2010 - TSEXERCICE I (5 points) (Pour les spécialistes de Physique et SVT) A. Solutions d’une équation différentielle. On considère l’équation différentielle : (A) y’ = −10y + 6 où y désigne une fonction de la variable t, dérivable sur R. 1. Restitution Organisée de Connaissances. L'objectif de cette partie est de démontrer l’existence et l’unicité de la solution f de l’équation différentielle (A) telle f(0) = 0. a) Démontre l'existence de la solution f de l’équation différentielle (A) telle f(0) = 0 (On pourra s'appuyer sur l'existence de la fonction exponentielle)
6 −10x Soit f la fonction définie par f  x=C e  (d'après le cours les solutions de y'=ay+b sont de la forme 10 f  x=C e ax− b ) pour que f(0)=0 il faut que C e −10 ×0 6 =0 , c'est à dire a 10 6 e −10x  6 −10x Ainsi f  x=− alors y' =6 e et 10 10

C=

−6 10

– 10 y6=−10

−6 −10x 6 e  6=6 e−10x −66=6 e−10x 10 10
10 10

6 −10x 6 Finalement il existe bien une fonction f ( f  x=− e  ) vérifiant (A) et f(0)=0

b) Démontre l'unicité d'une telle solution. On pourra démontrer dans un premier temps que si deux fonctions f et g sont solutions de (A) alors la fonction f-g est solution de y ' =– 10 y , en déduire l'expression de f-g et conclure que f-g=0. Soit f et g deux solutions de (A) on a alors f '=-10f+6 et g'=-10g+6 En soustrayant ces deux égalités on obtient f '-g'=-10f-10g ou encore (f-g)'=-10(f-g) On peut donc dire que f-g est alors solution de y ' =– 10 y , or les solutions de y'=ay sont les fonctions ax – 10 x et comme f(0)=g(0)=0 alors  f – g 0=0=C e0 y=C e donc f – g =C e Ce qui signifie que C=0, on alors f – g =0 e – 10 x =0 et donc f=g: Il y a bien unicité ! 2. Vérifier que la solution f de l’équation différentielle (A) telle que f(0) = 0 est f : t → Réalisé dans la question 1) a) B. Etablissement d’un courant dans une bobine. Aux bornes d’une bobine de résistance R (exprimée en ohms) et d’inductance L (exprimée en