Première S4 Devoir surveillé n°8 – Eléments de correction Exercice n°1 : ( 2 points) 5 min Question de connaissances

Année 2009 – 2010 Lundi 26 avril (1h)

a) Quel théorème utilise-t-on pour calculer la limite d’une fonction polynôme en + ∞ ou − ∞ ? La limite d’une fonction polynôme en + ∞ (respectivement en − ∞ ) est égale à la limite en

+ ∞ (respectivement en − ∞ ) de son terme de plus haut degré.

b) Quel théorème utilise-t-on pour calculer la limite d’une fonction rationnelle en + ∞ ou − ∞ ? La limite d’une fonction rationnelle en + ∞ (respectivement en − ∞ ) est égale à la limite en

+ ∞ (respectivement en − ∞ ) du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. Exercice n°2 : ( 5 points) 20 min Déterminer, si possible, les limites suivantes en détaillant vos réponses :

a)

x→ − ∞

lim (− 9 x − 2010)

On a : x→ − ∞

lim − 9 x = + ∞

Somme x→ − ∞

lim (− 9 x − 2010) = + ∞

x→ − ∞

lim − 2 010 = − 2 010

b)

x→ − ∞

lim − 6 x 2 − 5 x + 2

(

)

La limite d’une fonction polynôme en − ∞ est égale à la limite en − ∞ de son terme de plus haut degré. Ainsi : lim − 6 x 2 − 5 x + 2 = lim − 6 x 2 = − ∞ x→ − ∞ x→ − ∞

(

)

(

)

1

c) lim x→ 2 x< 2

5 x−2

x
Signe de x-2

−∞

2 0 +

+∞

On a :

lim 5 = 5 x→ 2 x< 2

Quotient

lim lim x − 2 = 0 − x→ 2 x< 2

5 =−∞ x→ 2 x − 2 x< 2

d)

x→ +∞

lim cos x

Pas de calcul possible ici, la fonction cosinus ne possède pas de limite en + ∞ .

e) lim

50 − 2 x x −3

x
Signe de 50-2x

−∞

25 + 0 -

+∞

x → 25 x > 25

On a :

x → 25 x > 25

lim 50 − 2 x = 0 −

Quotient

x → 25 x > 25 x → 25 x > 25

lim

50 − 2 x x −3

=0

lim x − 3 = 25 − 3 = 2

2 + 5x − 2x 2 f) lim x→ 3 x −3