1`ere S. Correction du contrˆole no 3
Exercice 1 (Question de cours)
On consid`ere une s´erie statistique (xi ; ni ) o` u ni d´esigne l’effectif de la valeur xi , pour
1 i p.
Valeurs
Effectifs

x1 n1 x2 n2 ...
...

xp np ni
On note N l’effectif total de la s´erie. On note fi la fr´equence de la valeur xi (fi = ).
N
On note x¯ la moyenne de la s´erie.
1. Donner la d´efinition de la variance.

p

La variance est le r´eel positif V d´efini par V = i=1 fi (xi − x¯)2 .

2. Donner une autre formule de la variance. p fi x2i

V = i=1 − x¯2

3. D´emontrer cette nouvelle formule de la variance. p V

= i=1 p

= i=1 p

fi (xi − x¯)2 fi xi 2 − 2xi x¯ + x¯2

= i=1 p

p

p
2

fi xi − 2

i=1 p = i=1 p

= i=1 i=1

i=1 p fi xi − 2¯ x p
2

2

=

fi x¯2

fi xi x¯ +

fi

fi xi + x¯

i=1

i=1

fi xi 2 − 2¯ x × x¯ + x¯2 × 1 fi xi 2 − x¯2

Exercice 2
On donne ci-dessous le tableau de variation d’une fonction f d´efinie sur [−6; 3]. x −6

−1
8

3

f (x)
2

4
1

On justifiera les r´eponses.
1. (a) D´eterminer le tableau de variation de la fonction u d´efinie par
1
u(x) = − f (x) + 7
2
1
1
Comme − < 0, la fonction − × f a des variation contraires a` celles de f .
2
2
1
En ajoutant la constante 7, la fonction u = − f + 7 a les mˆemes variations
2
1 que − × f .
2
Donc u a des variations contraires `a celles de f .
1
1 u(−6) = × f (−6) + 7 = − × 2 + 7 = 6.
2
2
1
De mˆeme, u(−1) = − × 8 + 7 = −4 + 7 = 3.
2
1 u(3) = − × 4 + 7 = 5.
2
x

−6
6

−1

3
5

u(x)
3
(b) Que peut-on dire du signe de u sur [−6; 3] ?
D’apr`es la question pr´ec´edente, le minimum de u sur [−6; 3] est 3 > 0.
Donc pour tout x ∈ [−6; 3], u(x) > 0.

(c) D´eterminer le tableau de variation de la fonction g d´efinie par
1
g(x) = − f (x) + 7.
2
√ u est bien d´efinie puisque u > 0.
D’apr`es la question pr´ e c´ e dente, la fonction √
La fonction g = u a√les mˆemes variations que
√ u.
√
g(−6) = u(−6) = 6, g(−1) = u(−1) = 3, et g(3) = u(3) = 5. x −6
√
6

−1

g(x)

√

3
√
5

3

4
.
3f (x)
(a) Justifier que h est bien