Exercice 1
Un astronome a observ´e au jour J0 le corps c´eleste A, qui apparaˆıt p´eriodiquement tous les 105 jours. Six jours plus tard (J0 +6), il observe le corps B, dont la p´eriode d’apparition est de 81 jours. On appelle J1 le jour de la prochaine apparition simultan
´ee des deux objets aux yeux de l’astronome. Le but de cet exercice est de d´eterminer la date de ce jour J1.
1. Soient u et v le nombre de p´eriodes effectu´ees respectivement par A et B entre
J0 et J1.
Montrer que le couple (u; v) est solution de l’´equation (E1) :
35x − 27y = 2.
2. a) D´eterminer un couple d’entiers relatifs (x0; y0) solution particuli`ere de l’´equation (E2) :
35x − 27y = 1.
b) En d´eduire une solution particuli`ere (u0; v0) de (E1).
c) D´eterminer toutes les solutions de l’´equation (E1).
d) D´eterminer la solution (u; v) permettant de d´eterminer J1.
3. a) Combien de jours s’´ecouleront entre J0 et J1 ?
b) Le jour J0 ´etait le mardi 7 d´ecembre 1999. Quelle est la date exacte du jour J1 (l’ann´ee 2000 ´etait bissextile) ?
c) Si l’astronome manque ce futur rendez-vous, combien de jours devra-t-il attendre jusqu’`a la prochaine conjonction des deux astres ?
Exercice 2 n ´etant un entier relatif quelconque, on consid`ere les entiers relatifs a et b d´efinis par a = n3 − 2n + 5 et b = n + 1.
1. Montrer que PGCD(a, b) = PGCD(b, 6).
Pour quelles valeurs de n a-t-on PGCD(a, b) = 3 ?
2. D´eterminer n pour que le nombre a b soit un entier relatif.

Exercice 1
1. Apr`es u p´eriodes de A, il s’est ´ecoul´e 105u jours, et apr`es 6 jours et v p´eriodes de B, il s’est ´ecoul´e 6 + 81v jours. Donc on a 105u = 6 + 81v, ce qui donne, apr`es division par 3, 37u − 27v = 2, et donc (u; v) est solution de (E1).
2. a) Appliquons l’algorithme d’Euclide `a 35 et 27 :
35 = 27 × 1 + 8
27 = 8 × 3 + 3
8 = 3 × 2 + 2
3 = 2 × 1 + 1
2 = 1 × 2 + 0
Donc PGCD(35; 27) = 1, et :
1 = 3 − 2 or 2 = 8 − 3 × 2
= 3 − (8 − 3 × 2)
= 3 × 3 − 8 or 3 = 27 − 8 × 3
= 3(27 − 8 ×