Configurations et coordonn´es: les premi`res r´ponses e e e
1. Carr´ et triangle ´quilat´ral e e e √ (Q 1) La diagonale d’un carr´ de cˆt´ 5 mesure 5 2. e oe Justification: soit ABCD un carr´ de cˆt´ 5. Le th´or`me de Pythagore dans le triangle rectangle e oe e e BCD permet d’affirmer BD2 = BC 2 + CD2 soit BD2 = 52 + 52 = 2 × 52 donc BD = 2 × 52 = √ 2× √ √ 52 = 5 2

√ (Q 2) Plus g´n´ralement, la diagonale d’un carr´ de cˆt´ a mesure a 2 e e e oe Justification: soit ABCD un carr´ de cˆt´ a. Le th´or`me de Pythagore dans le triangle rectangle e oe e e BCD permet d’affirmer BD2 = BC 2 + CD2 soit BD2 = a2 + a2 = 2 × a2 donc BD = (Q 3) La hauteur d’un triangle ´quilat´ral de cˆt´ e e oe √ √ 2 × a2 = √ √ 2× √ √ a2 = a 2

3 3 3 mesure 3 × = · 2 2 √ Justification: soit ABC un triangle ´quilat´ral de cˆt´ 3, A′ le milieu du segment [BC] qui est e e oe aussi le pied de la hauteur issue de A. Le th´or`me de Pythagore dans le triangle rectangle AA′ B e e permet d’affirmer AB = AA + A B soit
2 ′2 ′ 2

√

3

2

=h +

2

√ 3 2

2

donc h2 = 3 −

3 9 = puis h = 4 4 c √

9 3 = 4 2 3 2 √ 3 3 c=c 4 2

(Q 4)

Plus g´n´ralement, la hauteur d’un triangle ´quilat´ral de cˆt´ c mesure e e e e oe

c AB = AA + A B soit (c) = h + 2
2 ′2 ′ 2 2 2

2

3 c2 = c2 puis h = donc h = c − 4 4
2 2

3 2 c = 4

(Q 5) D’apr`s la r´ponse ` la question (Q 2), le cˆt´ c d’un carr´ dont la diagonale mesure 4 doit e e a oe e ˆtre tel que e √ √ √ √ 4 2 4 2 4 √ = c 2 = 4 donc c = √ = √ = 2 2. 2 2 2× 2

(Q 6) D’apr`s la r´ponse ` la question (Q 4), le cˆt´ c d’un triangle ´quilat´ral dont la hauteur e e a oe e e mesure 1 doit v´rifier e √ √ √ √ 3 3 2 2× 3 2 3 √ = c = 1 ⇐⇒ c = 1 ÷ =1× √ = √ · 2 2 3 3 3× 3