Ch 7 Produit scalaire – Applications : calcul de grandeurs

Correction des « brèves de cours » p. 101 (Maths 1re – Coll. Terracher)

Ex 67 Pour quelle valeur du réel a, les vecteurs [pic] et [pic] sont-ils orthogonaux ?
On a [pic] d’où, dans un repère (O ; [pic] ; [pic]), les coordonnées de [pic] : (– 1 ; 3).
On a [pic] d’où, dans un repère (O ; [pic] ; [pic]), les coordonnées de [pic] : (a – 1 ; 3).
[pic] et [pic] sont orthogonaux équivaut à : [pic] qui équivaut à : (– 1)[pic](a – 1) + 3[pic]3 = 0 qui équivaut à : – a + 1 + 9 = 0.
Donc les vecteurs [pic] et [pic] sont orthogonaux pour la valeur a = 10.

Ex 68 Soit O, A et B des points du plan. On pose a = OA et b = OB.
Exprimer en fonction de a et b le produit scalaire [pic].
On utilise le théorème de bilinéarité du produit scalaire :
[pic]= 2[pic]([pic]) + 2[pic][pic] + [pic]([pic]) + [pic][pic] = [pic][pic]+ 2 OA2 – [pic][pic][pic]– [pic][pic] = 2 OA2 – [pic]OB2 = 2a2 – [pic]b2 .

Ex 69
[pic]
[pic]est le projeté orthogonal de [pic] sur [pic] d’où l’égalité : [pic].
[pic]est le projeté orthogonal de [pic] sur [pic] d’où l’égalité : [pic].
[pic]est le projeté orthogonal de [pic] sur [pic] d’où l’égalité : [pic].
[pic]est le projeté orthogonal de [pic] sur [pic] d’où l’égalité : [pic].

Ex 70 Calculer les coordonnées du projeté orthogonal H de B(–2 ; 3) sur la droite (OA), où O est l’origine du repère et A le point de coordonnées (4 ; 2).
Si H est le projeté orthogonal de B sur la droite (OA) alors les vecteurs [pic] et [pic] sont orthogonaux.
Soient (xH ; yH) les coordonnées de H.
Les coordonnées de [pic] sont : (xB – xH ; yB – yH) = (– 2 – xH ; 3 – yH)
De la même manière, les coordonnées de [pic] sont : (4 ; 2).
[pic]et [pic] orthogonaux équivaut à : [pic] = 0 qui