Chapitre 2
Calculs vectoriels
2.1
2.1.1

Calculs barycentriques
Fonction vectorielle de Leibniz

Définition 2.1 (Point pondéré). On appelle point pondéré d’un espace affine E tout couple (A, α),
A ∈ E et α ∈ R.
Définition 2.2. Soit n ∈ N∗ , A1 , A2 , . . . An n points de E, α1 , α2 , . . . , αn ∈ R.
{(A1 , α1 ), (A2 , α2 ), . . . , (An , αn )} est appelé système de points pondérés de E. On note (Ai , αi )1≤i≤n et n i=1

αi est la masse du système.

Définition 2.3 (Fonction vectorielle de Leibniz). Soit n ∈ N∗ et (Ai , αi )1≤i≤n un système de points pondérés. On appelle fonction vectorielle de Leibniz associée à ce système l’application qui à tout point n −−−→
−−−→
−−→ αi M Ai .
M de E associe le vecteur V (M ) avec V (M ) = i=1 Exemple 2.1. Soit (A, 1), (B, −1), (C, −1) un système de point pondérés du plan. La fonction vecto−−−→ −−→ −−→ −−→ rielle de Leibniz associée à ce système est M :→ V (M ) = M A − M B − M C.
−−−→
Montrer que si I est le milieu de [BC], V (M ) est aussi associé à {(A, 1); (I; −2)}. n n
−−−−→
−−−→
−−−→
−−→
Remarque 2.1. Soit M et M deux point de E, on a V (M ) = αi M Ai , αi M Ai et V (M ) = i=1 ainsi :
−−−→
V (M ) =

n

−−−→ −−−→ αi (M M + M A ) =

i=1

n

−−−→ αi M M +

i=1

n

−−−→ αi M Ai =

i=1

i=1

n

−−−→ −−−−→ αi M M + V (M ).

i=1

On en déduit la relation suivante entre les images de M et M :
−−−→
V (M ) − V (M ) =

n

αi

−−−→
−−−→
M M = mM M .

i=1

−−−→ −−−−→
– Remarquer que si m = 0, V (M ) = V (M ) pour tout M, M ∈ E.
−−−→
−−→ −−−→
– Si m = 0, posons M = O, alors on a V (M ) = mM O + V (O), c’est-à-dire
−−−→ −−−→
−−−→
−−→
−
→
OM = m1 (V (O)− V (M )). Il apparait alors clairement que pour tout vecteur V , l’équation V (M ) =
−−−→ −
−
→
−−→
→
−
→
V admet une solution unique définie par OM = m1 (V (O) − V ). En particulier, si V = 0, il existe
−−−→
−−−→
−→
un unique point G tel que V (G) = 0 et OG = m1 (V (O)).
Cours de Mathématiques. Classe T le C.

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