Chapitre 9
Le mod`ele Cox-Ross-Rubinstein

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Renaud Bourl` es - Ecole
Centrale Marseille

Math´ ematiques pour la finance

Consid´erons un actif valant S0 `a la p´eriode initiale et qui, `a chaque p´eriode, peut ˆetre haussier (et avoir un rendement u) avec une probabilit´e p ou baissier (rendement d) avec une probabilit´e q = (1 − p). Sur 3 p´eriodes on a

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L’ensembles des ´etats finaux est
Ω = {uuu, uud, udu, udd, duu, dud, ddu, ddd}.
Le prix de l’actif `a chaque p´eriode (sauf `a t=0) est une variable al´eatoire.
S1 =
S2

S3

S0 .u
S0 .d

avec probabilit´e p avec probabilit´e (1 − p)

 avec probabilit´e p 2
 S0 .u 2
S0 .u.d avec probabilit´e 2.p.(1 − p)
=

S0 .d 2 avec probabilit´e (1 − p)2
2 ´etats finaux donnent S2 = u.d.S0 : {ud} et {du}

S0 .u 3 avec probabilit´e p 3



2
S0 .u .d avec probabilit´e 3.p 2 .(1 − p)
=
S .d 2 .u avec probabilit´e 3.(1 − p)2 .p


 0 3
S0 d avec probabilit´e (1 − p)3
3 ´etats finaux donnent S3 = u 2 .d.S0 : {uud}, {udu} et {duu}
3 ´etats finaux donnent S3 = d 2 .u.S0 : {ddu}, {dud} et {udd}
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Ainsi,
E(S1 ) = p.u.S0 + q.d.S0 = (up + dq)S0
E(S2 ) = p 2 .u 2 .S0 + 2.p.q.u.d.S0 + q 2 .d 2 .S0 = (up + dq)2 S0
E(S3 ) = p 3 .u 3 .S0 + 3.p 2 .q.u 2 .d.S0 + 3.p.q 2 .u.d 2 .S0 + q 3 .d 3 .S0
= (up + dq)3 S0
Le processus de prix (St ), t = 0, 1, 2, 3 est alors un processus stochastique en temps discret.
Chaque valeur St est une v.a. c’est `a dire une fonction de Ω vers R, ω → St (ω).
Si on fixe l’´etat final ω, on obtient une suite
{S0 (ω), S1 (ω), S2 (ω), S3 (ω)} appel´ee trajectoire du processus
(du prix)
Par exemple, si ω = udu, on obtient la trajectoire
{S0 , S0 .u, S0 .u.d, S0 .u 2 .d}
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La trajectoire du prix de l’actif est r´ev´el´ee progressivement au
` t = 0, il a 8 trajectoires