Calculs d’intégrales. Primitives
Primitives
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de la fonction f sur l’intervalle I toute fonction F définie et dérivable sur I telle que F ′ = f.

Expression d’une primitive à l’aide d’une intégrale
Théorème fondamental • Si f est continue sur l’intervalle I, alors f admet des primitives sur I. • Si F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle I, les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme x → F(x) + C où C est une constante réelle. x • Si f est continue sur l’intervalle I alors, pour tout réel a de I, la fonction x → fonction f sur l’intervalle I. Ainsi, pour tout réel x de I, x ′

f(t) dt est une primitive de la

a

f(t) dt a = f(x).

Plus précisément, x • Si f est continue sur l’intervalle, pour tous réel x0 de l’intervalle I et tout réel y0 , il existe une primitive F de f sur I et une seule telle que F(x0 ) = y0 . La primitive de f qui prend la valeur y0 en x0 est la fonction x la fonction x →

f(t) dt est la primitive de f sur I qui s’annule en a. a x → y0 +

f(t) dt. x0 Expression d’une intégrale à l’aide d’une primitive
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit F une primitive de f sur I. Pour tous réels a et b de I, b f(x) dx = F(b) − F(a). a Notation. Le nombre F(b) − F(a) est noté [F(x)]a .

b

Formule d’intégration par parties
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. On suppose que les fonctions dérivées u ′ et v ′ sont continues sur l’intervalle I. Alors, pour tous réels a et b de I, b b

u ′ (x)v(x) dx = [u(x)v(x)]a − a a

b

u(x)v ′ (x) dx.

Remarque. Si f est une fonction continue sur I, les notions d’intégrale et de primitive sont directement liées par la relation b f(x) dx = F(b) − F(a). a Mais il existe des fonctions dont on sait calculer l’intégrale et qui n’admettent pas de primitive. Les fonctions en escaliers fournissent des exemples de