Comment démontrer qu'un triangle est rectangle ?
[Réciproque du théorème de Pythagore.]
Si dans un triangle, la longueur de la médiane relative à un côté est égale à la moitié de la longueur de ce côté, alors ce triangle est rectangle.
Si trois points sont sur un cercle, et que deux entre eux sont les extrémités d'un diamètre, alors le triangle ainsi formé est rectangle.
Comment démontrer que deux segments ont la même longueur ?
En calculant leur longueur [Théorèmes de Pythagore, de Thalès, etc.]
Le milieu d'un segment est le point de ce segment situé à égale distance de ses extrémités.
Si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
Si un triangle est rectangle, alors le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit au triangle.
Si un triangle est un triangle rectangle, alors la longueur de la médiane issue de l'angle droit est égale à la moitié de la longueur l'hypoténuse.
Comment démontrer que deux droites sont parallèles ?
Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
Si deux droites forment avec une troisième des angles correspondants égaux, alternes-internes égaux ou alternes-externes égaux, alors elles sont parallèles. [théorème des milieux] Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté. [Réciproque du théorème de Thalès.]

Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires ?
Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.