Pondichéry 2007 EXERCICE II. ETUDE D'UN "SUPER CONDENSATEUR" (5 points)
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La loi d'additivité des tensions nous donne : E = uC(t) + uR(t)
D’après la loi d’Ohm uR(t)= R.i(t) , d’autre part i(t) =[pic] donc uR(t) = R.[pic]
De plus q(t) = C.uC(t) et C est une constante donc uR(t) = R.C.[pic].
(0,5) Il vient : E = uC(t) + R.C.[pic] équation différentielle vérifiée par uC(t).
II.1.b.(0,25) Si uc(t)= E.(1 – [pic]) est solution de l'équation différentielle, on aura :
[pic]
En remplaçant dans l’équation précédente, il vient : uC(t) + R.C.[pic] = E.(1 – [pic]) + [pic] = E – E. [pic] + [pic] uC(t) + R.C.[pic] = E (1– [pic]+ [pic]) = E.(1– [pic](1 – [pic]))
Pour que uc(t)= E.(1 – [pic]) soit solution de l’équation différentielle, il faut que (1 – [pic]) = 0, soit : (0,25) ( = R.C
(0,25) Condition initiale, à t = 0, uc(0) = 0 uC(0) = E.(1 –[pic]) = E.(1 – 1) = 0 cette condition est vérifiée.
II.1.c.(0,5) ( = R.C donc C = [pic].
Déterminons graphiquement la valeur de la constante de temps (.
Pour t = (, uc(() = E.(1 – [pic]) = E.(1 – e–1) uC(() = 0,63.E uC(() = 0,63 ( 5,0 = 3,16 V = 3,2 V.
On trace la droite horizontale uC = 3,2 V qui coupe la courbe uc(t) en un point dont l'abscisse t est égale à (.
Graphiquement ( = 12 s.
Donc C = [pic][pic]= 1,2 F.

Le constructeur indique la valeur de C avec seulement un chiffre significatif :
C = 1 F.

On obtient un écart relatif d’environ 20 % avec la valeur donnée par le fabricant.
Notre résultat est compatible avec l’indication du fabricant.
II.2.- Restitution de l'énergie et décharge à courant constant.

II.2.a. On a: uC(t) = a.t + b, avec a < 0 et b > 0
(0,25) Or uc (0) = 4,9 V donc b = 4,9 V
(0,25) Et uc(18) =1,5 V donc 1,5 = a.18 + 4,9 ( a = [pic] = – 0,19 V.s-1
Finalement: uC(t) = – 0,19.t + 4,9

Il.2.b. On a q(t) = C . uC(t) q(t) = C.(a.t+b) q(t)= C.a.t + C.b
(0,5) q(t) = 1,0 ( – 0,19.t +1,0( 4,9 = – 0,19.t + 4,9
(0,25) Or