1 ère S 7

Devoir Surveillé n ° 2

Barème : 1 ) 4 pts 2 ) 5 pts 3 ) 5 pts 4 ) 6 pts

nom : voisin :

voisin : voisin :

- Durée 2 h - Calculatrices autorisées

Commentaires : Lisez l’énoncé en entier avant de commencer et répondez bien aux questions qui vous sont demandées. Vous pouvez faire les exercices dans l’ordre que vous souhaitez . La rédaction est importante. Soyez propre et clair . Bonne chance … BARYCENTRES Ex1 : Soit ABC un triangle équilatéral . Soit Γ l’ensemble des points M du plan tels que :

|| MA + 2 MB + MC || = || 4 MA + MB
→ → → →

→

– MC

→

||

Déterminer la nature de l’ensemble Γ . Soit G le barycentre de ( A , 1 ) , ( B , 2 ) , ( C , 1 ) et H le barycentre de ( A , 4 ) , ( B , 1 ) , ( C , – 1 ) Ainsi, pour tout → M →plan, on a : → → point du → → → → MA + 2 MB + MC = 4 MG et 4 MA + MB – MC = 4 MH On en déduit que, pour tout point M du plan, M → ∈Γ → → → → → || MA + 2 MB + MC || = || 4 MA + MB – MC || ⇔ ⇔ ⇔

|| 4 MG || = || 4 MH ||
→ →

MG = MH

Ainsi Γ est la médiatrice du segment [ GH ] Ex 2 : Soit ABC un triangle. ( AB = 6 cm, AC = 7 cm et BC = 8 cm ) E est le barycentre de ( A , 1 ) , ( B , – 2 ) , ( C , – 1 ) F est le barycentre de ( A , – 2 ) , ( B , – 1 ) , ( C , 1 ) G est le barycentre de ( A , – 1 ) , ( B , 1 ) , ( C , – 2 ) a ) Construire les points E, F et G. Construction de E : 1 - 2 ≠ 0 , on peut donc considérer C' le barycentre de ( A , 1 ) , ( B , – 2 ). → → AC ' = 2 AB D'après la règle du barycentre partiel , E est le barycentre de ( C' , – 1 ) , ( C , – 1 ) , E est donc le milieu de [ C' C ] ...

b ) Démontrer que le centre de gravité H du triangle EFG est aussi le centre de gravité du triangle ABC. H est le centre de gravité du triangle EFG , H est donc le barycentre de ( E , 1 ) , ( F , 1 ) , ( G , 1 ) , cad de ( E , – 2 ) , ( F , – 2 ) , ( G , – 2 ) On sait que : E est le barycentre de ( A , 1 ) , ( B , – 2 ) , ( C , – 1 ) F est le barycentre